Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que, para cualesquiera números reales positivos $a$, $b$, $c$, se cumple que \[\frac{1}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{1}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{c^3 + a^3 + abc} \leq \frac{1}{abc}.\]

Truncar un $n$-gono convexo significa elegir un par de lados consecutivos $AB$, $BC$ y reemplazarlos por los tres segmentos $AM$, $MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. Es decir, se corta el triángulo $MBN$ para obtener un $(n+1)$-gono convexo. Un hexágono regular $P_6$ de área $1$ se corta para obtener un heptágono $P_7$. Luego, $P_7$ se corta (de una de las siete maneras posibles) para obtener un octágono $P_8$, y así sucesivamente. Demostrar que, sin importar cómo se realicen los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $\frac{1}{3}$ para todo $n \geq 6$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demostrar que \[\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\geq 2\left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right).\]

Sea $$S = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{1993006}},$$ donde los denominadores contienen sumas parciales de la sucesión de los recíprocos de los números triangulares (es decir, $k = n(n+1)/2$ para $n = 1,2,\dots,1996$). Demostrar que $S\gt 1001$.

Sean \(a, b, c\) las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que $$\sqrt{a + b - c} + \sqrt{b + c - a} + \sqrt{c + a - b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c},$$ y determinar cuándo se da la igualdad.