Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se define una sucesión $a_n$ como $a_1=1$ y $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ para todo $n\geq 1$. Demostrar que $a_{100}\gt 14$.

Los números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$ cumplen que $a_1=0$ y $|a_i|=|a_{i-1}+1|$ para $1\leq i\leq n$. Demostrar que \[\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq\frac{-1}{2}.\]

Sean $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ y $\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$ permutaciones de los números $\{1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n}\}$. Si se cumple que \[a_1+b_1\geq a_2+b_2\geq\ldots\geq a_n+b_n,\] demostrar que $a_m+a_n\geq\frac{4}{m}$ para todo $m$.

¿Qué es más grande $31^{11}$ o $17^{14}$?

Probar que en todo tetraedro hay un vértice tal que las tres aristas que comparten dicho vértice tienen longitudes que pueden ser las de los lados de un triángulo.