Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que \[\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1\] para cualesquiera números reales positivos $a$, $b$ y $c$.

Sean $A,B,C$ reales positivos cuyo producto es $1$. Probar que \[\left(A-1+\frac{1}{B}\right)\left(B-1+\frac{1}{C}\right)\left(C-1+\frac{1}{A}\right)\leq 1.\]

Sea $n\geq 2$ un entero fijo.

1. Determinar la menor constante $C$ tal qu la desigualdad \[\sum_{1\leq i\lt j\leq n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\leq C\left(\sum_{1\leq i\leq n}x_i\right)^4\] se cumple para cualesquiera números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq 0$.
2. Para dicha constante $C$, determinar cuándo se alcanza la igualdad.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales tales que $|x_1+\ldots+x_n|=1$ y $|x_i|\leq\frac{n+1}{2}$ para $1\leq i\leq n$. Demostrar que existe una permutación $y_1,y_2,\ldots,y_n$ de $x_1,x_2,\ldots,x_n$ tal que \[|y_1+2y_2+\ldots+ny_n|\leq\frac{n+1}{2}.\]

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $DF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_A,R_C,R_E$ los circunradios de los triángulos $FAB,BCD,DEF$, respectivamente, y sea $p$ el perímetro del hexágono. Demostrar que \[R_A+R_B+R_C\geq\frac{p}{2}.\]