Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $DF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_A,R_C,R_E$ los circunradios de los triángulos $FAB,BCD,DEF$, respectivamente, y sea $p$ el perímetro del hexágono. Demostrar que \[R_A+R_B+R_C\geq\frac{p}{2}.\]

Dados tres puntos $P,Q,R$ en el plano, definimos $m(PQR)$ como la menor de las longitudes de las alturas del triángulo $PQR$. Si los puntos $P,Q,R$ no forman un triángulo porque están alineados, definimos $m(PQR)=0$. Demostrar que, dados cuatro puntos $A,B,C,X$ en el plano, se cumple que \[m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC).\]

Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$. Las bisectrices interiores de los ángulos $A,B,C$ cortan a los lados opuestos en $A',B',C'$, respectivamente. Demostrar que \[\frac{1}{4}\lt\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq \frac{8}{27}.\]

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales tales que $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demostrar que, para todo $k\geq 2$, existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ no todos iguales a cero tales que $|a_i|\leq k-1$ para todo $i$ y \[|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\leq\frac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}\]

Consideremos las sucesiones crecientes infinitas $\{x_n\}$ de números reales positivos con $x_0=1$.

1. Demostrar que para cualquier sucesión de este tipo, existe algún $n\geq 1$ tal que \[\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\ldots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\geq 3.999.\]
2. Encontrar una sucesión de este tipo para la que \[\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\ldots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\lt 4\] para todo $n\geq 1$.