Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1426
- Hallar los valores de $x$ para los cuales $\cos x +\,\mathrm{sen}\,x\gt 1$.
- Hallar los valores de $x$ para los cuales $\cos x + |\mathrm{sen}\,x|\gt 1$.
pistasolución 1info
Pista. ¿Qué relación hay entre $\cos(x)+\mathrm{sen}(x)$ y $\mathrm{sen}(x+45^\circ)$?
Solución.
- Si multiplicamos por $\cos(45)=\sin(45)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ la ecuación, obtenemos \[\mathrm{sen}(x+45)=\mathrm{sen}(45)\cos(x)+\cos(45)\mathrm{sen}(x)=\mathrm{sen}(45)(\cos(x)+\mathrm{sen}(x)).\] Por lo tanto, la desigualdad que queremos probar se traduce en que \[\mathrm{sen}(x+45^\circ)\gt\cos(45).\] En el intervalo $[0,360]$, los ángulos cuyo seno es mayor que el seno de $45$ son los del intervalo $(45,135)$, luego la inecuación anterior tiene como soluciones los puntos de los intervalos $(0,90)$, salvo múltiplos de $360$.
- Para $x\in(0,180)$, el seno es positivo, luego tenemos las mismas soluciones del apartado anterior $(0,90)$. Ahora bien, la función $f(x)=\cos(x)+|\mathrm{sen}(x)|$ cumple que $f(-x)=f(x)$ (es par), luego también tenemos las soluciones $(-90,0)$. Si observamos finalmente que $x=0$ no es solución ya que $f(0)=1$ y que $f(x)$ tiene período $360$, tenemos que la respuesta es los intervalos $(-90,0)$ y $(0,90)$, salvo múltiplos enteros de $360$.
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Problema 1418
Dados el triángulo equilátero $ABC$ de lado $a$ y su circunferencia circunscrita, se considera el segmento circular limitado por la cuerda $AB$ y el arco (de $120^\circ$) con los mismos extremos. Al cortar este segmento circular con rectas paralelas al lado $BC$ , queda determinado sobre cada una de ellas un segmento de puntos interiores al segmento circular mencionado. Determinar la longitud máxima de esos segmentos rectilíneos.
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Problema 1406
IMO, 1964-P3
Demostrar que la suma de las distancias de los vértices de un tetraedro regular al centro de su esfera circunscrita es menor que la suma de las distancias de estos vértices a cualquier otro punto del plano.
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Problema 1401
OMCC, 2006-P4
El producto de varios enteros positivos distintos es divisible por $2006^2$. Determinar el valor mínimo que puede tomar la suma de tales enteros.
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Problema 1360
OMCC, 2003-P3
Sean $a$ y $b$ enteros positivos con $a\gt 1$ y $b\gt 2$. Demostrar que
\[a^b+1\geq b(a+1)\]
y determinar cuándo se tiene la igualdad.
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