Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sumando todas las ecuaciones y agrupando los términos de primer grado, obtenemos \[x_1^2+(a-1)x_1+(\tfrac{a-1}{2})^2+x_2^2+(a-1)x_2+(\tfrac{a-1}{2})^2+\ldots+x_n^2+(a-1)x_n+(\tfrac{a-1}{2})^2=0,\] que puede reescribirse como \[(x_1+\tfrac{a-1}{2})^2+(x_2+\tfrac{a-1}{2})^2+\ldots+(x_n+\tfrac{a-1}{2})^2=0.\] Si una suma de cuadrados es igual a cero, entonces todos los sumandos deben ser cero, por lo que tenemos la única solución posible \[x_1=x_2=\ldots=x_n=\tfrac{1-a}{2},\] que se comprueba fácilmente que verifica el sistema de ecuaciones dado.

Solución. Si $x$ e $y$ son no negativos, entonces la primera ecuación queda $x^2+y^2=1$, lo que nos dice que ambos números están entre $0$ y $1$. Ahora la segunda ecuación, nos dice que uno de ellos tiene que ser igual a $1$ y el otro igual a cero pues, de no ser así, ambas partes enteras serían nulas. Tenemos así las dos soluciones $(0,1)$ y $(1,0)$.

Por otro lado, no pueden ser $x$ e $y$ ambos negativos ya que el miembro de la izquierda de la primera ecuación sería negativo, por lo que podemos suponer que $x$ es positivo e $y$ es negativo (el caso opuesto es análogo ya que sólo hay que cambiar $x$ por $y$). Como cualquier número es mayor o igual que su parte entera, la segunda ecuación nos dice en particular que \[x\geq\lfloor x\rfloor=1-\lfloor y\rfloor\gt 1-y\] y la primera nos dice que $x^2-y^2=1$, luego se tiene que $1+y^2=x^2\gt(1-y)^2$ y esto implica finalmente que $2y\gt 0$, lo que supone una contradicción.

Deducimos que no hay ninguna solución tal que $x$ e $y$ tengan distinto signo, luego $(0,1)$ y $(1,0)$ son las únicas.