Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una calculadora se ha estropeado y las únicas teclas que aún funcionan son $\sin,\cos,\tan,\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (es decir, las funciones trigonométricas y sus inversas, en radianes). La calculadora inicialmente tiene el valor $0$ en pantalla. Demostrar que, para cualquier racional positivo $q$, existe una secuencia finita de pulsaciones que dan $q$ como resultado.

Se presupone que la calculadora hace las operaciones con precisión infinita.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos impares. Definimos la sucesión $\{f_n\}$ tomando $f_1=a$ y $f_2=b$ y, para $n\geq 3$, $f_n$ como el mayor divisor impar de $f_{n-1}+f_{n-2}$. Demostrar que $f_n$ es constante a partir de un término en adelante y determinar el valor de dicha constante en función de $a$ y $b$.

Consideremos todas las funciones $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ que verifican:

• $f(x)\geq 0$ para todo $x\in[0,1]$,
• $f(1)=1$,
• $f(x)+f(y)\leq f(x+y)$ siempre que $x,y,x+y\in[0,1]$.

Hallar justificadamente la menor constante $c$ tal que $f(x)\leq cx$ para toda función $f$ verificando las condiciones anteriores y para todo $x\in[0,1]$.

Demostrar que \[\frac{1}{\cos 0^\circ\cos 1^\circ}+\frac{1}{\cos 1^\circ\cos 2^\circ}+\ldots+\frac{1}{\cos 88^\circ\cos 89^\circ}=\frac{\cos 1\circ}{\mathrm{sen}^2\,1^\circ}.\]

Consideremos una sucesión de funciones $\{f_n(x)\}$ que se define recursivamente como \begin{align*} f_1(x)&=\sqrt{x^2+48},\\ f_{n+1}(x)&=\sqrt{x^2+6f_n(x)},\quad \text{para todo }n\geq 1. \end{align*} Para cada entero positivo $n$, encontrar todas las soluciones reales de la ecuación $f_n(x)=2x$.