Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los afijos de las soluciones de la ecuación \[z^3+(-1+i)z^2+(1-i)z+i=0.\]

Resolver la ecuación \[\tan^2(2x)+2\tan(2x)\tan(3x)-1=0.\]

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros y $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ el conjunto de pares ordenados de enteros. La suma de estos pares se define por \[(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').\] Estudiar si existe un subconjunto $E$ de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

• La suma de dos pares de $E$ también es de $E$.
• El par $(0,0)$ pertenece a $E$.
• Si $(a,b)$ no es $(0,0)$, entonces o bien $(a,b)$ pertenece a $E$ o bien su opuesto $(-a,-b)$ pertenece a $E$, pero no ambos.

Calcular el límite \[\lim_{n\to\infty}\left(\cos\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2^2}\cdots \cos\frac{x}{2^n}\right).\]

En una posición $O$ de un aeropuerto de campaña está emplazado un cañón que puede girar $360^\circ$. Dos tanques atacan dicho lugar siguiendo trayectorias rectas $AB$ y $CD$ dadas. Hallar gráficamente el alcance del cañón sabiendo que la suma de los trozos de trayectorias de ambos tanques en los cuales éstos están bajo el fuego del cañón, es una longitud conocida $\ell$.