Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros y $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ el conjunto de pares ordenados de enteros. La suma de estos pares se define por \[(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').\] Estudiar si existe un subconjunto $E$ de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

• La suma de dos pares de $E$ también es de $E$.
• El par $(0,0)$ pertenece a $E$.
• Si $(a,b)$ no es $(0,0)$, entonces o bien $(a,b)$ pertenece a $E$ o bien su opuesto $(-a,-b)$ pertenece a $E$, pero no ambos.

Calcular el límite \[\lim_{n\to\infty}\left(\cos\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2^2}\cdots \cos\frac{x}{2^n}\right).\]

En una posición $O$ de un aeropuerto de campaña está emplazado un cañón que puede girar $360^\circ$. Dos tanques atacan dicho lugar siguiendo trayectorias rectas $AB$ y $CD$ dadas. Hallar gráficamente el alcance del cañón sabiendo que la suma de los trozos de trayectorias de ambos tanques en los cuales éstos están bajo el fuego del cañón, es una longitud conocida $\ell$.

En 1960, el mayor de tres hermanos tiene una edad que es la suma de las de sus hermanos más pequeños. Unos años después, la suma de las edades de dos de los hermanos es doble de la del otro. Ha pasado ahora un número de años desde 1960, que es igual a dos tercios de la suma de las edades que los tres hermanos tenían en ese año, y uno de ellos ha alcanzado los 21 años. ¿Cuál es la edad de cada uno de los otros dos?

Determinar el número de raíces reales de la ecuación \[16x^5-20x^3+5x+m=0\] en función del parámetro real $m$.