Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A,B,C,x,y,z$ números reales tales que $A+B+C$ es un múltiplo entero de $\pi$ y \[x\,\mathrm{sen}(A)+y\,\mathrm{sen}(B)+z\,\mathrm{sen}(C)=x^2\,\mathrm{sen}(2A)+y^2\,\mathrm{sen}(2B)+z^2\,\mathrm{sen}(2C)=0.\] Demostrar que, para todo entero positivo $n$, se tiene que \[x^n\,\mathrm{sen}(nA)+y^n\,\mathrm{sen}(nB)+z^n\,\mathrm{sen}(nC)=0.\]

Encontrar el máximo número de ternas de números en progresión aritmética que puede contener una sucesión de $n$ números reales distintos.

Una balanza tiene sus dos brazos de distinta longitud y peso. Se quieren pesar tres objetos: el primero se equilibra con una pesa $A$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda y con una pesa $a$ cuando se coloca en el platillo de la derecha; el segundo objeto se equilibra con una pesa $B$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda y con una pesa $b$ cuando se coloca en el platillo de la derecha; el tercer objeto se equilibra con una pesa $C$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda. ¿Cuál es el peso real de este tercer objeto?

Se consideran tres números reales $0\lt a,b,c\lt\frac{\pi}{2}$ tales que \[\cos(a)=a,\qquad \mathrm{sen}(\cos(b))=b,\qquad \cos(\sin(c))=c.\] ¿Cuáles son el mayor y el menor de los tres números?

Hubo un día en que tres niños visitaron una biblioteca por primera vez. El primer niño decidió ir un día sí y otro no, el segundo niño decidió ir cada tres días y el tercero cada cuatro días. Sin embargo, el bibliotecario les dijo que la biblioteca cerraba los miércoles, así que decidieron que si les tocaba ir un miércoles lo pasarían al jueves y contarían de nuevo empezando en dicho jueves. Obedeciendo estas reglas, más adelante hubo un lunes en el que todos coincidieron en la biblioteca. ¿En qué día de la semana visitaron por primera vez la biblioteca?