Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $S$ el conjunto de los enteros no negativos. Encontrar las funciones $f:S\to S$ tales que \[f(m+f(n))=f(f(m))+n\qquad\text{para todo }m,n\in S.\]

Hallar el máximo valor de $x_0$ para el que puede existir una sucesión $x_0,x_1,\ldots,x_{1996}$ de reales positivos tales que $x_0=x_{1995}$ y, para todo $i=1,\ldots,1995$, se cumpla que \[x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}.\]

Sea $S$ el conjunto de los números reales estrictamente mayores que $-1$. Hallar todas las funciones $f:S\to S$ que verifiquen simultáneamente las siguientes dos condiciones:

• $f(x+f(y)+xf(y)=y+f(x)+yf(x)$ para todo $x,y\in S$;
• $\frac{f(x)}{x}$ es una función estrictamente creciente en cada uno de los intervalos $-1\lt x\lt 0$ y $0\lt x$.

Determinar si existe alguna función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que $f(1)=2$, $f(f(n))=f(n)+n$ y $f(n)\lt f(n+1)$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2,\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$.