Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una semicircunferencia de radio $r$ se divide en $n+1$ partes iguales y se calcula la media aritmética de las áreas de los $n$ triángulos que se forman al unir los puntos de la división con los extremos de la semicircunferencia (el diámetro es el tercer lado). Calcular el límite, cuando $n$ tiende a infinito, de dichas medias aritméticas.

Mientras Teofrasto hablaba con Aristóteles sobre la clasificación de las plantas, tenía un perro atado a una columna cilíndrica perfectamente lisa de radio $r$, con una cuerda muy fina que envolvía la columna y con un lazo. El perro tenía el extremo libre de la cuerda cogido a su cuello. Al intentar alcanzar a Teofrasto, puso la cuerda tirante y esta se rompió. Determinar a qué distancia de la columna estaba el nudo en el momento de romperse la cuerda.

Sea $S$ el subconjunto de números racionales que pueden escribirse en la forma $a/b$, donde $a$ es un entero cualquiera y $b$ un entero impar. ¿Pertenece a $S$ la suma de dos de sus elementos? ¿Y el producto? ¿Hay en $S$ elementos cuyo inverso pertenezca a $S$?

Se lanza un cohete y alcanza los $120$ m de altura, en la caída pierde $60$ m, luego recupera $40$ m, vuelve a perder $30$ m, gana $24$ m, pierde $20$ m, etc. Si el proceso sigue indefinidamente, ¿a qué altura tiende a estabilizarse?

Dado un número natural no nulo $n$, consideremos la función $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ definida así: \[f_n(x)=\begin{cases}n^2x&\text{si }0\leq x\lt\frac{1}{n},\\\frac{3}{n}&\text{si } \frac{1}{n}\leq x\leq 1.\end{cases}\]

1. Representar gráficamente la función.
2. Calcular $A_n=\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x$.
3. Hallar, si existe, $\lim_{n\to\infty}A_n$.