Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una sucesión infinita $\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}$ de números reales se dice acotada si existe una constante $C$ tal que $|x_i|\leq C$ para todo $i\geq 0$. Dado un número real $a\gt 1$, construir una sucesión infinita acotada $\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}$ tal que \[|x_i-x_j|\cdot |i-j|^a\geq 1,\] para todo par de enteros no negativos distintos $i$ y $j$.

Sea $\mathbb{Q}^+$ el conjunto de los números racionales positivos. Construir una función $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ que cumpla que \[f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{Q}^+$.

Demostrar que no hay ninguna función $f$ definida en los enteros no negativso y con valores enteros no negativos tal que $f(f(n))=n+1987$ para todo $n$.

Encontrar todas las funciones $f$ definidas en los reales no negativos y que toman valores en los reales no negativos tales que

• $f(xf(y))f(y)=f(x+y)$ para todo $x,y\geq 0$,
• $f(2)=0$,
• $f(x)\neq 0$ para $0\leq x\lt 2$.

Para cada número real $x_1$ podemos definir una sucesión infinita $\{x_n\}$ mediante \[x_{n+1}=x_n\Bigl(x_n+\frac{1}{n}\Bigr)\qquad\text{para todo }n\geq 1.\] Demostrar que existe una única elección posible de $x_1$ para la que se cumple que $0\lt x_n\lt x_{n+1}\lt 1$ para todo $n$.