Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Calcular la integral \[\int\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{sen}(x-1)\,\mathrm{sen}(x-2)}.\] Sugerencia: hacer el cambio de variable $\tan x=t$.

Un vaso de vidrio cilíndrico tiene $8$ cm de altura y su borde 12 cm de circunferencia. En su interior, a $3$ cm del borde, hay una diminuta gota de miel. En un punto de su superficie exterior, perteneciente al plano que pasa por el eje del cilindro y por la gota de miel, y situado a $1$ cm de la base (o fondo) del vaso, hay una mosca. ¿Cuál es el camino más corto que la mosca debe recorrer, andando sobre la superficie del vaso, hasta la gota de miel? ¿qué longitud tiene dicho camino?

Demostrar que, si al producto de cuatro números naturales consecutivos se le añade una unidad, el resultado es un cuadrado perfecto.

Demostrar que si $x$ es tal que \[x+\frac{1}{x}=2\cos(\alpha)\] para cierto ángulo $\alpha$, entonces, para todo entero positivo $n$ se cumple que \[x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos(n\alpha).\]

Hallar la función $f(x)$ que cumple la ecuación \[f'(x)+x^2f(x)=0,\] sabiendo que $f(1)=e$. Representar gráficamente esta función y calcular la tangente en el punto de la curva de abscisa $1$.