Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que $a+bi\in\mathbb{C}$ es el número complejo no nulo en cuestión y queremos encontrar $z,w\in\mathbb{C}$ tales que $z+w=a+bi$ tales que $z-w$ y $zw^{-1}$ sean imaginarios puros. Si escribimos $z=x+iy$ y $w=u+iv$, tenemos que \[z-w=(x-u)+(y-v)i,\qquad zw^{-1}=\frac{xu+yv}{u^2+v^2}+\frac{yu-xv}{u^2+v^2},\] luego debe ser $x-u=0$ y $xu+yv=0$, pero también tenemos que $x+u=a$ e $y+v=b$, lo que nos da un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas reales. De $x-u=0$ y $x+u=a$ obtenemos que $x=u=\frac{a}{2}$, con lo que las otras dos ecuaciones quedan $yv=\frac{-1}{4}a^2$ e $y+v=b$, esto es, $y$ y $v$ son soluciones de la ecuación $X^2-bX-\frac{1}{4}a^2=0$ ($X$ es la incógnita), luego podemos tomar $y=\frac{b+\sqrt{b^2+a^2}}{2}$ y $v=\frac{b-\sqrt{b^2+a^2}}{2}$ usando la fórmula para las soluciones de la ecuación de segundo grado. En definitiva, los únicos números (salvo cambiarlos de orden) que resuelven el problema son \[z=\frac{a}{2}+\frac{b+\sqrt{b^2+a^2}}{2}i,\qquad w=\frac{a}{2}+\frac{b+\sqrt{b^2+a^2}}{2}i.\]

Solución. Observemos que $a_2=1$ y además podemos expresar \[a_1a_2\cdots a_{n+1}=a_1+a_2+\ldots +a_n=a_1a_2\cdots a_n+a_n,\] de donde obtenemos que \[a_{n+1}=1+\frac{1}{a_1a_2\cdots a_{n-1}}\quad\text{para todo }n\geq 2.\qquad(\star)\] Cómo todos los $a_n$ son positivos, esto nos dice que que $a_n\gt 1$ para todo $n\geq 3$. Además, tenemos que $a_1a_2a_3=a_1+1\gt 1$, luego deducimos que $a_1a_2\cdots a_{n-1}\gt 1$ para todo $n\geq 4$. Por lo tanto, $(\star)$ nos asegura que $1\lt a_n\lt 2$ para todo $n\geq 5$. Así, a lo sumo hay cuatro términos que son enteros en toda sucesión mapuche.

Para resolver así el problema, será suficiente encontrar una sucesión mapuche con cuatro términos enteros, para lo que tomamos $a_1=1$, condición inicial que nos lleva a que $a_2=1$, $a_3=2$ y $a_4=2$.