Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1612
Demostrar que si $x$ es tal que
\[x+\frac{1}{x}=2\cos(\alpha)\]
para cierto ángulo $\alpha$, entonces, para todo entero positivo $n$ se cumple que
\[x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos(n\alpha).\]
Sin pistas
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Problema 1611problema obsoleto
Hallar la función $f(x)$ que cumple la ecuación
\[f'(x)+x^2f(x)=0,\]
sabiendo que $f(1)=e$. Representar gráficamente esta función y calcular la tangente en el punto de la curva de abscisa $1$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Observa que $\frac{f'(x)}{f(x)}$ es la derivada de $\ln|f(x)|$. Puedes usar el hecho de que, si dos funciones tienen la misma derivada en todos los puntos de un intervalo, entonces difieren en una constante.
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Problema 1607problema obsoleto
Dado el polinomio
\[P(x)=1+3x+5x^3+7x^5+\ldots+1001 x^{500},\]
expresar el valor numérico de su derivada de orden $325$ en $x=0$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Observa que sólo hay un sumando no nulo en esa derivada.
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Problema 1606problema obsoleto
Probar que el volumen de un toro es igual al volumen de un cilindro cuya la base es una sección meridiana de aquél y que tiene por altura la longitud de la circunferencia formada por los centros de las secciones meridianas.
pista
Sin soluciones
infoPista. Utilizar la fórmula para el volumen de un sólido de revolución en términos de integrales de funciones.
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Problema 1604problema obsoleto
Calcular la integral definida
\[\int_2^4\mathrm{sen}((x-3)^3)\,\mathrm{d}x.\]
pistasolución 1info
Pista. Fíjate en la simetría que presenta la función en el intervalo $[2,4]$ y no intentes calcular una primitiva.
Solución. Haciendo el cambio de variable $t=x-3$, obtenemos que $\mathrm{d}t=\mathrm{d}x$ y que $t$ se mueve en el intervalo $[-1,1]$ cuando $x$ se mueve en el intervalo $[2,4]$. En definitiva,
\[\int_2^4\mathrm{sen}((x-3)^3)\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\mathrm{sen}(t^3)\,\mathrm{d}t.\]
Ahora bien, la función $f(t)=\sen(t^3)$ es impar (es decir, cumple que $f(-t)=-f(t)$ y la estamos integrando en el intervalo $[-1,1]$, simétrico respecto del origen, luego la integral que del enunciado vale $0$.
Nota. La función $f(t)=\sen(t^3)$ no tiene una primitiva en términos de funciones elementales, luego no es plausible abordar el problema resolviendo la integral de forma directa.
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