Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todas las funciones $f(x)$ definidas en los reales positivos y que toman valores reales positivos que cumplen las siguientes dos condiciones:

• $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y\gt 0$,
• $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Una función $f(n)$ está definida en los enteros no negativos y toma valores enteros no negativos. También cumple las siguientes propiedades:

• $f(m+n)-f(m)-f(n)$ es igual a $0$ o a $1$ para cualesquiera enteros $m,n\geq 0$.
• $f(2)=0$, $f(3)\gt 0$ y $f(9999)=3333$.

Hallar $f(1982)$.

Una función de dos variables $f(x,y)$ sobre los enteros no negativos cumple que

• $f(0,y)=y+1$,
• $f(x+1,0)=f(x,1)$,
• $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$,

para cualesquiera enteros $x,y\geq 0$. Hallar $f(4,1981)$.

El conjunto de los enteros positivos se exprsa como la unión de dos subconjuntos infinitos disjuntos $\{f(1),f(2),\ldots,f(n),\ldots\}$ y $\{g(1),g(2),\ldots,g(n),\ldots\}$, de forma que $f(n)$ y $g(n)$ son funciones estrictamente crecientes y cumplen que $g(n)=f(f(n))+1$ para todo $n\geq 1$. Hallar $f(240)$.

Sea $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ una función definida en los enteros positivos, que cumple \[f(n+1)\gt f(f(n))\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.\] Demostrar que $f(n)=n$ para todo $n\in\mathbb{N}$.