Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una balanza tiene sus dos brazos de distinta longitud y peso. Se quieren pesar tres objetos: el primero se equilibra con una pesa $A$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda y con una pesa $a$ cuando se coloca en el platillo de la derecha; el segundo objeto se equilibra con una pesa $B$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda y con una pesa $b$ cuando se coloca en el platillo de la derecha; el tercer objeto se equilibra con una pesa $C$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda. ¿Cuál es el peso real de este tercer objeto?

Se consideran tres números reales $0\lt a,b,c\lt\frac{\pi}{2}$ tales que \[\cos(a)=a,\qquad \mathrm{sen}(\cos(b))=b,\qquad \cos(\sin(c))=c.\] ¿Cuáles son el mayor y el menor de los tres números?

Hubo un día en que tres niños visitaron una biblioteca por primera vez. El primer niño decidió ir un día sí y otro no, el segundo niño decidió ir cada tres días y el tercero cada cuatro días. Sin embargo, el bibliotecario les dijo que la biblioteca cerraba los miércoles, así que decidieron que si les tocaba ir un miércoles lo pasarían al jueves y contarían de nuevo empezando en dicho jueves. Obedeciendo estas reglas, más adelante hubo un lunes en el que todos coincidieron en la biblioteca. ¿En qué día de la semana visitaron por primera vez la biblioteca?

Consideremos dos sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ tales que cualquiera de sus elementos (a partir del tercero) son suma de los dos que lo preceden y los primeros elementos son $a_1=b_2=1$ y $a_2=b_1=1$. ¿Cuántos enteros aparecen en ambas sucesiones (posiblemente en posiciones distintas)?

Diremos que una sucesión infinita y creciente $a_1\lt a_2\lt a_3\lt\ldots$ de enteros positivos es central si, para todo entero positivo $n$, la media aritmética de los primeros $a_n$ términos de la sucesión es igual a $a_n$. Demostrar que existe una sucesión infinita $\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}$ de enteros positivos tal que, para toda sucesión central $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$, hay infinitos enteros positivos $n$ con $a_n=b_n$.