Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Los valores absolutos cambian signo en los puntos $-3$, $-1$, $2$ y $5$. Además, el denominador no se anula nunca (no pueden ser todos los valores absolutos iguales a cero simultáneamente), luego se trata de una función continua en todo $\mathbb{R}$. Podemos escribir la función a trozos como \[f(x)=\begin{cases} \frac{1}{-(x+3)-(x+1)-(x-2)-(x-5)}=\frac{1}{3-4x}&\text{si }x\leq -3,\\ \frac{1}{(x+3)-(x+1)-(x-2)-(x-5)}=\frac{1}{9-2x}&\text{si }-3\leq x\leq -1,\\ \frac{1}{(x+3)+(x+1)-(x-2)-(x-5)}=\frac{1}{11}&\text{si }-1\leq x\leq 2,\\ \frac{1}{(x+3)+(x+1)+(x-2)-(x-5)}=\frac{1}{7+2x}&\text{si }2\leq x\leq 5,\\ \frac{1}{(x+3)+(x+1)+(x-2)+(x-5)}=\frac{1}{-3+4x}&\text{si }5\leq x.\\ \end{cases}\] También podemos calcular su derivada a trozos: \[f(x)=\begin{cases} \frac{4}{(3-4x)^2}\gt 0&\text{si }x\lt -3,\\ \frac{2}{(9-2x)^2}\gt 0&\text{si }-3\lt x\lt -1,\\ 0&\text{si }-1\lt x\lt 2,\\ \frac{-2}{(7+2x)^2}\lt 0&\text{si }2\lt x\lt 5,\\ \frac{-4}{(3-4x)^2}\lt 0&\text{si }5\lt x.\\ \end{cases}\] Por lo tanto, se trata de una función estrictamente creciente en $(-\infty,-1)$ y estrictamente decreciente en $(2,+\infty)$ (aunque no es derivable en $x=-3$ y $x=5$, la monotonía estricta se extiende a estos puntos por continuidad y porque las derivadas laterales son estrictamente positivas). Como $f(x)$ es constante en $[-1,2]$, deducimos que el máximo se alcanza en el todo este intervalo, donde el valor es $\frac{1}{11}$. Podemos además dar un bocento de la gráfica $y=f(x)$ teniendo en cuenta lo anterior y que $f(x)$ tiene límite cero en $\pm\infty$.