Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Las filas a partir de la tercera se pueden escribir como combinación lineal de las dos primeras. Esto equivale a que, para cada $i\geq 3$, existan $\lambda_i,\mu_i\in\mathbb{R}$ tales que \[a^i+b^j=\lambda_i(a+b^j)+\mu_i(a^2+b^j)\ \Leftrightarrow\ (\lambda_i+\mu_i-1)b^j+a(\lambda_i+a\mu_i-a^i)=0.\] Podemos tomar $\mu_i=1-\lambda_i$ para anular el primer paréntesis y luego el segundo nos queda $\lambda_i+a(1-\lambda_i)=a^i$, de donde despejamos (ya que $a\neq 1$): \[\lambda_i=a\frac{a^{i-1}-1}{1-a},\qquad \mu_i=1-\lambda_i=\frac{1-a^i}{1-a}.\] Como $\frac{1-a^k}{1-a}=1+a+\ldots+a^{k-1}$ para todo $k\geq 1$, resulta que tanto $\lambda_i$ como $\mu_i$ son números enteros y tenemos que la respuesta al enunciado es como máximo $2$. Para ver que la solución realmente es $2$, comprobamos que las dos primeras filas son linealmente independientes (tienen rango 2), lo que se deduce del menor \begin{align*} \left|\begin{matrix}a+b&a+b^2\\a^2+b&a^2+b^2\end{matrix}\right|&=(a+b)(a^2+b^2)-(a+b^2)(a^2+b)\\ &=ab(a+b-1-ab)=-ab(a-1)(b-1)\neq 0 \end{align*} ya que $a$ y $b$ no toman los valores $0$ ni $1$.

Solución. Para la primera parte, basta observar que \[(\sqrt{y}+\sqrt{xy})^2=y+2\sqrt{y}\sqrt{xy}+xy=y+xy+2y\sqrt{x}\] y tomar raíces cuadradas en ambos miembros usando que $\sqrt{y}+\sqrt{xy}\gt 0$.

Para la segunda parte, podemos hacer un razonamiento similar para $x=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{5}$ e $y=3$, lo que nos da la igualdad \[\left(\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{22}}\right)^2=8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}\] y podemos transformar \begin{align*} M&=\sqrt{3}+\sqrt{5+\sqrt{22}}+\sqrt{5-\sqrt{22}}\\ &=\sqrt{3}+\sqrt{(5+\sqrt{22})+(5-\sqrt{22})+2\sqrt{5+\sqrt{22}}\sqrt{5-\sqrt{22}}}\\ &=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{25-22}}=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{3}}. \end{align*}

Solución. Si expresamos $14$ como producto de dos elementos de $\mathcal D$, tenemos \[14=(a+b\sqrt{-13})(c+d\sqrt{-13})=(ac-13bd)+(ac+bd)\sqrt{-13}.\] Separando en partes real e imaginaria, tenemos claramente que la factorización equivale a encontrar enteros $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ verificando el sistema \[(\star)\qquad \left\{\begin{array}{l}ac-13bd=14,\\ac+bd=0\end{array}\right.\] Tomando el módulo en la factorización, tenemos además que \[14^2=(a^2+13b^2)(c^2+13d^2),\] luego $a^2+13b^2$ y $c^2+13d^2$ tienen que ser divisores enteros positivos complementarios de $14^2=2^2\cdot 7^2$. Supongamos sin perder generalidad que $a^2+13b^2$ es el menor de los dos factores, luego tiene que ser igual a $1,2,4,7$ o $14$. Distingamos casos:

• Si $a^2+13b^2=1$, entonces necesariamente $a=\pm 1$ y $b=0$. Sustituyendo en el sistema $(\star)$ llegamos a que $c=\pm 14$ y $d=0$.
• Si $a^2+13b^2=2$, no hay solución.
• Si $a^2+13b^2=4$, entonces $a=\pm 2$ y $b=0$. Sustituyendo en el sistema $(\star)$ llegamos a que $c=\pm 7$ y $d=0$.
• Si $a^2+13b^2=7$, tampoco hay solución en este caso.
• Si $a^2+13b^2=14$, entonces $a=\pm 1$ y $b=\pm 1$.
  • Si $a=b=1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=1$ y $d=-1$.
  • Si $a=1$ y $b=-1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=d=1$.
  • Si $a=-1$ y $b=1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=d=-1$.
  • Si $a=b=-1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=-1$ y $d=1$.

En definitiva, tenemos las siguientes seis factorizaciones salvo ordenación de factores: \[1\cdot 14,\quad (-1)(-14),\quad 2\cdot 7,\quad (-2)(-7),\] \[(1+\sqrt{-13})(1-\sqrt{-13}),\quad (-1+\sqrt{-13})(-1-\sqrt{-13}).\]