Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\mathcal D$ el conjunto de los números complejos que se pueden escribir en la forma $a+b\sqrt{-13}$, con $a$ y $b$ enteros. El número $14=14+0\sqrt{-13}$ puede escribirse como producto de dos elementos de $\mathcal{D}$ (por ejemplo, $14=2\cdot 7$). Expresar $14$ como producto de dos elementos de $\mathcal D$ de todas las formas posibles.

Se atribuye al matemático renacentista Leonardo da Pisa (más conocido como Fibonacci) la sucesión definida de la manera siguiente: \[a_1=1,\qquad a_2=1,\qquad a_i=a_{i-1}+a_{i-2}\quad\text{para todo } i\gt2.\] Expresar $a_{2n}$ en función solamente de los tres términos $a_{n-1}$, $a_n$ y $a_{n+1}$.

Para cada número natural $n$ se considera el polinomio $P_n(x)=x^{n+2}−2x+1$.

1. Demostrar que la ecuación $P_n(x)=0$ tiene una raíz $c_n$ y sólo una en el intervalo $(0,1)$.
2. Calcular $\lim_{n\to\infty}c_n$.

Calcular el producto \[\cos\Bigl(\frac{\pi}{15}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{2\pi}{15}\Bigr)\cdots \cos\Bigl(\frac{14\pi}{15}\Bigr).\]

Consideramos la curva $\Gamma$ definida por la ecuación $y^2=x^3+bx+b^2$, donde la constante $b$ es un número racional no nulo. Inscribir en la curva $\Gamma$ un triángulo cuyos vértices tengan coordenadas racionales.