Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideramos la curva $\Gamma$ definida por la ecuación $y^2=x^3+bx+b^2$, donde la constante $b$ es un número racional no nulo. Inscribir en la curva $\Gamma$ un triángulo cuyos vértices tengan coordenadas racionales.

Diremos que una matriz cuadrada es de suma constante si la suma de los elementos de cada fila, de cada columna, y de cada diagonal, son valores iguales. Análogamente, una matriz cuadrada es de producto constante si son iguales los productos de los elementos de cada fila, de cada columna y de cada diagonal. Determinar las matrices cuadradas de orden $3$ sobre $\mathbb{R}$ que son, a la vez, de suma y de producto constante.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los afijos de las soluciones de la ecuación \[z^3+(-1+i)z^2+(1-i)z+i=0.\]

Resolver la ecuación \[\tan^2(2x)+2\tan(2x)\tan(3x)-1=0.\]

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros y $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ el conjunto de pares ordenados de enteros. La suma de estos pares se define por \[(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').\] Estudiar si existe un subconjunto $E$ de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

• La suma de dos pares de $E$ también es de $E$.
• El par $(0,0)$ pertenece a $E$.
• Si $(a,b)$ no es $(0,0)$, entonces o bien $(a,b)$ pertenece a $E$ o bien su opuesto $(-a,-b)$ pertenece a $E$, pero no ambos.