Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Andaluza |
| OME Nacional |
| OIM |
| IMO |
| EGMO |
| USAMO |
| ASU |
| OMCC |
| Retos UJA |
Buscar problemas
La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1562problema obsoleto
Determinar todas las soluciones reales del sistema
\[\left.\begin{array}{r}
2x-5y+11z-6=0\\
-x+3y-16z+8=0\\
4x-5y-83z+38=0\\
3x+11y-z+9\gt 0
\end{array}\right\}\]
en el que las tres primeras son ecuaciones y la última una inecuación.
pistasolución 1info
Pista. Las tres primeras ecuaciones determinan una recta en el espacio.
Solución. Consideremos las dos primeras ecuaciones y llamemos $z=t$. Entonces, tenemos un sistema de dos ecuaciones en las incógnitas $x$ e $y$ que se resuelve fácilmente:
\[\left.\begin{array}{r}2x-5y=6-11t\\x-3y=8-16t\end{array}\right\}\ \leadsto\ \left\{\begin{array}{l}x=-22+47t,\\y=-10+21t.\end{array}\right.\]
Por lo tanto, las soluciones de estas dos primeras ecuaciones vienen dadas por esta parametrización para $t\in\mathbb{R}$. Si sustituimos en la tercera ecuación obtenemos tras algunos cálculos tediosos $0=0$, luego la recta del espacio que determinan las dos primeras ecuaciones está contenida en el plano que determina la tercera. Si sustituimos en la inecuación, obtenemos
\[3x+11y-z+9\gt 0\ \Longleftrightarrow\ -167+361t\gt 0,\]
luego las soluciones al sistema son
\[(x,y,z)=(-22+47t,-10+21t,t),\qquad \text{para todo }t\gt\frac{167}{361}.\]
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1561problema obsoleto
Sabemos que $\mathbb{R}^3=\{(x_1,x_2,x_3):x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$ es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto por escalares:
\begin{align*}
(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)&=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3),\\
\lambda(x_1,x_2,x_3)&=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3).
\end{align*}
Consideremos el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}^3$:
\[L=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=0\}.\]
- Demostrar que $L$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$.
- En $\mathbb{R}^3$ se define la relación binaria $x\sim y$ si y sólo si $x-y\in L$. Demostrar que se trata de una relación de equivalencia.
- Hallar dos vectores de $\mathbb{R}^3$ que pertenezcan a la misma clase de equivalencia respecto de $\sim$ que el vector $(-1,3,2)$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Para el apartado (a), se debe comprobar que la suma de elementos de $L$ y el producto de un elemento de $L$ por un escalar, siguen siendo elementos de $L$. En el apartado (b), se debe comprobar que $\sim$ es reflexiva, transitiva y simétrica. En el apartado (c), observa que los elementos de la clase de equivalencia de un vector dado son los que se obtienen sumándole elementos de $L$.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1556problema obsoleto
Se consideran en al plano complejo los conjuntos
\begin{align*}
A&=\left\{z\in\mathbb{C}:\arg(z-(2+3i))=\tfrac{\pi}{4}\right\},\\
B&=\left\{z\in\mathbb{C}:|z-(2+i)|<2\right\}.
\end{align*}
Determinar la proyección ortogonal de $A\cap B$ sobre el eje $OX$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1553problema obsoleto
Sea $\mathbb{K}$ un anillo con unidad y $M$ el conjunto de las matrices $2\times 2$ con elementos en $\mathbb{K}$. Se define en $M$ una suma y un producto de la forma usual entre matrices.
- Comprobar que $M$ es un anillo con unidad y no conmutativo respecto de las leyes de composición así definidas.
- Comprobar que si $\mathbb{K}$ es un cuerpo conmutativo, los elementos de $M$ que tienen inverso están caracterizados por la condición $ad-bc\neq 0$.
- Demostrar que el subconjunto de $M$ formado por los elementos que tienen inverso es un grupo multiplicativo.
pista
Sin soluciones
infoPista. Para el apartado (a), tienes que comprobar que la suma es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro y cada elemento tiene un elemento opuesto; también tienes que comprobar que el producto es asociativo, tiene elemento neutro y la suma es distributiva respecto de él. No obstante, hay que dar algún ejemplo que muestre que la propiedad conmutativa no es cierta en general. Para el apartado (b), observa que el determinante es multiplicativo. Para el apartado (c), tienes que probar que el producto de matrices regulares es regular, es asociativo, tiene elemento neutro y cada matriz regular tiene una simétrica (su inversa).
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1522
IMO, 1970-P3
Sea $\{a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\}$ una sucesión infinita creciente de números reales con $a_0=1$. Para cada entero positivo $n$, definimos el número real
\[b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}.\]
- Demostrar que $0\leq b_n\leq 2$ para todo natural $n$.
- Dado $c$ con $0\leq c\lt 2$, demostrar que podemos elegir una sucesión inicial $\{a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\}$ tal que $b_n\gt c$ a partir de un término suficientemente grande.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2025. Esta página ha sido creada mediante software libre