Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1553problema obsoleto
Sea $\mathbb{K}$ un anillo con unidad y $M$ el conjunto de las matrices $2\times 2$ con elementos en $\mathbb{K}$. Se define en $M$ una suma y un producto de la forma usual entre matrices.
- Comprobar que $M$ es un anillo con unidad y no conmutativo respecto de las leyes de composición así definidas.
- Comprobar que si $\mathbb{K}$ es un cuerpo conmutativo, los elementos de $M$ que tienen inverso están caracterizados por la condición $ad-bc\neq 0$.
- Demostrar que el subconjunto de $M$ formado por los elementos que tienen inverso es un grupo multiplicativo.
pista
Sin soluciones
infoPista. Para el apartado (a), tienes que comprobar que la suma es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro y cada elemento tiene un elemento opuesto; también tienes que comprobar que el producto es asociativo, tiene elemento neutro y la suma es distributiva respecto de él. No obstante, hay que dar algún ejemplo que muestre que la propiedad conmutativa no es cierta en general. Para el apartado (b), observa que el determinante es multiplicativo. Para el apartado (c), tienes que probar que el producto de matrices regulares es regular, es asociativo, tiene elemento neutro y cada matriz regular tiene una simétrica (su inversa).
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Problema 1522
IMO, 1970-P3
Sea $\{a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\}$ una sucesión infinita creciente de números reales con $a_0=1$. Para cada entero positivo $n$, definimos el número real
\[b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}.\]
- Demostrar que $0\leq b_n\leq 2$ para todo natural $n$.
- Dado $c$ con $0\leq c\lt 2$, demostrar que podemos elegir una sucesión inicial $\{a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\}$ tal que $b_n\gt c$ a partir de un término suficientemente grande.
Sin pistas
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Problema 1518
Calcular los valores de los cosenos de los ángulos $x$ que satisfacen la ecuación
\[\mathrm{sen}^2\,x-2\cos^2x+\tfrac{1}{2}\mathrm{sen}\,2x=0.\]
pistasolución 1info
Pista. Expresa todo en términos del ángulo doble.
Solución. Sabiendo que $\cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)=1$ y $\cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)=\cos(2x)$, podemos despejar
\[\cos^2(x)=\tfrac{1}{2}(1+\cos(2x)),\qquad \mathrm{sen}^2(x)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2x)).\]
Sustituyendo en el enunciado y simplificando, obtenemos la siguiente ecuación equivalente:
\[-3\cos(2x)+\mathrm{sen}(2x)=1.\]
Consideremos ahora un ángulo $\theta=\arccos(\frac{-3}{\sqrt{10}})$, que está en el segundo cuadrante y cumple que $\cos(\theta)=\frac{-3}{\sqrt{10}}$ y $\mathrm{sen}(\theta)=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Si dividimos la ecuación anterior por $\sqrt{10}$, podemos reescribirla como
\[\cos(\theta-2x)=\cos(\theta)\cos(2x)+\mathrm{sen}(\theta)\mathrm{sen}(2x)=\tfrac{1}{\sqrt{10}}=\cos(90-\theta).\]
Si tenemos en cuenta ahora que una ecuación $\cos(a)=\cos(b)$ implica que $a=\pm b+360k$, obtenemos las soluciones
\begin{align*}
\theta-2x=90-\theta+360k&\ \Longleftrightarrow\ x=-45+\arccos(\tfrac{-3}{\sqrt{10}})+180k,\\
\theta-2x=-90+\theta+360k&\ \Longleftrightarrow\ x=45+180k.
\end{align*}
Esto nos da exactamente dos soluciones ($x=45$ y $x=-45+\arccos(\tfrac{-3}{\sqrt{10}})$) en el intervalo $[0,180]$, que se van repitiendo periódicamente con período $180$.
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Problema 1513problema obsoleto
Una planta crece del modo que describimos a continuación. Tiene un tronco que se bifurca en dos ramas; cada rama de la planta puede, a su vez, bifurcarse en otras dos ramas, o bien acabar en una yema. Llamaremos carga de una rama al número total de yemas que soporta, es decir, el número de yemas alimentadas por la savia que pasa por esa rama; y llamaremos alejamiento de una yema al número de bifurcaciones que la savia tiene que atravesar para llegar desde el tronco a esa yema.
Si $n$ es el número de bifurcaciones que tiene una determinada planta de ese tipo, se pide:
- Calcular el número de ramas de la planta en función de $n$.
- Calcular el número de yemas de la planta en función de $n$.
- Demostrar que la suma de las cargas de todas las ramas es igual a la suma de los alejamientos de todas las yemas.
Sugerencia. Puede procederse por inducción, demostrando que si unos resultados son correctos para una determinada planta, siguen siéndolo para la planta que se obtiene sustituyendo en ella una yema por un par de ramas terminadas en sendas yemas.
pistasolución 1info
Pista. Seguir la sugerencia.
Solución.
- A cada rama se le puede asignar una bifurcación (de la que sale dicha rama) y siempre hay exactamente dos ramas que comparten dicha bifurcación, luego el número total de ramas es $2n$.
- Cuando a una planta le añadimos una bifurcación como indica la sugerencia, el número de yemas aumenta en una unidad (una yema pasa a una bifurcación que da lugar a dos nuevas yemas). Como una planta con 1 bifurcación tiene solo 2 yemas, una planta con $n$ bifurcaciones tendrá $n+1$ yemas.
- Para una yema que fijemos, su alejamiento es el número de bifurcaciones que atraviesa, que no es más que el número de ramas que atraviesa. Por lo tanto, cuando sumamos todos los alejamientos estamos sumando una unidad por cada rama que atraviesa cada yema, y por tanto obtenemos la suma de las cargas de todas las ramas.
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Problema 1509
Las velocidades de un submarino sumergido y en superficie son, respectiva- mente, $v$ y $kv$. El submarino está situado en un punto $P$ a 30 millas del centro $O$ de un círculo de radio $60$ millas. La vigilancia de una escuadra enemiga le obliga a navegar sumergido mientras está dentro del círculo. Discutir, según los valores de $k$, el camino más rápido para trasladarse al extremo opuesto del diámetro que pasa por $P$. Discutir el caso particular $k =\sqrt{5}$.
Sin pistas
Sin soluciones
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