Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Andaluza |
| OME Nacional |
| OIM |
| IMO |
| EGMO |
| USAMO |
| ASU |
| OMCC |
| Retos UJA |
Buscar problemas
La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1518
Calcular los valores de los cosenos de los ángulos $x$ que satisfacen la ecuación
\[\mathrm{sen}^2\,x-2\cos^2x+\tfrac{1}{2}\mathrm{sen}\,2x=0.\]
pistasolución 1info
Pista. Expresa todo en términos del ángulo doble.
Solución. Sabiendo que $\cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)=1$ y $\cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)=\cos(2x)$, podemos despejar
\[\cos^2(x)=\tfrac{1}{2}(1+\cos(2x)),\qquad \mathrm{sen}^2(x)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2x)).\]
Sustituyendo en el enunciado y simplificando, obtenemos la siguiente ecuación equivalente:
\[-3\cos(2x)+\mathrm{sen}(2x)=1.\]
Consideremos ahora un ángulo $\theta=\arccos(\frac{-3}{\sqrt{10}})$, que está en el segundo cuadrante y cumple que $\cos(\theta)=\frac{-3}{\sqrt{10}}$ y $\mathrm{sen}(\theta)=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Si dividimos la ecuación anterior por $\sqrt{10}$, podemos reescribirla como
\[\cos(\theta-2x)=\cos(\theta)\cos(2x)+\mathrm{sen}(\theta)\mathrm{sen}(2x)=\tfrac{1}{\sqrt{10}}=\cos(90-\theta).\]
Si tenemos en cuenta ahora que una ecuación $\cos(a)=\cos(b)$ implica que $a=\pm b+360k$, obtenemos las soluciones
\begin{align*}
\theta-2x=90-\theta+360k&\ \Longleftrightarrow\ x=-45+\arccos(\tfrac{-3}{\sqrt{10}})+180k,\\
\theta-2x=-90+\theta+360k&\ \Longleftrightarrow\ x=45+180k.
\end{align*}
Esto nos da exactamente dos soluciones ($x=45$ y $x=-45+\arccos(\tfrac{-3}{\sqrt{10}})$) en el intervalo $[0,180]$, que se van repitiendo periódicamente con período $180$.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1513problema obsoleto
Una planta crece del modo que describimos a continuación. Tiene un tronco que se bifurca en dos ramas; cada rama de la planta puede, a su vez, bifurcarse en otras dos ramas, o bien acabar en una yema. Llamaremos carga de una rama al número total de yemas que soporta, es decir, el número de yemas alimentadas por la savia que pasa por esa rama; y llamaremos alejamiento de una yema al número de bifurcaciones que la savia tiene que atravesar para llegar desde el tronco a esa yema.
Si $n$ es el número de bifurcaciones que tiene una determinada planta de ese tipo, se pide:
- Calcular el número de ramas de la planta en función de $n$.
- Calcular el número de yemas de la planta en función de $n$.
- Demostrar que la suma de las cargas de todas las ramas es igual a la suma de los alejamientos de todas las yemas.
Sugerencia. Puede procederse por inducción, demostrando que si unos resultados son correctos para una determinada planta, siguen siéndolo para la planta que se obtiene sustituyendo en ella una yema por un par de ramas terminadas en sendas yemas.
pistasolución 1info
Pista. Seguir la sugerencia.
Solución.
- A cada rama se le puede asignar una bifurcación (de la que sale dicha rama) y siempre hay exactamente dos ramas que comparten dicha bifurcación, luego el número total de ramas es $2n$.
- Cuando a una planta le añadimos una bifurcación como indica la sugerencia, el número de yemas aumenta en una unidad (una yema pasa a una bifurcación que da lugar a dos nuevas yemas). Como una planta con 1 bifurcación tiene solo 2 yemas, una planta con $n$ bifurcaciones tendrá $n+1$ yemas.
- Para una yema que fijemos, su alejamiento es el número de bifurcaciones que atraviesa, que no es más que el número de ramas que atraviesa. Por lo tanto, cuando sumamos todos los alejamientos estamos sumando una unidad por cada rama que atraviesa cada yema, y por tanto obtenemos la suma de las cargas de todas las ramas.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1509
Las velocidades de un submarino sumergido y en superficie son, respectiva- mente, $v$ y $kv$. El submarino está situado en un punto $P$ a 30 millas del centro $O$ de un círculo de radio $60$ millas. La vigilancia de una escuadra enemiga le obliga a navegar sumergido mientras está dentro del círculo. Discutir, según los valores de $k$, el camino más rápido para trasladarse al extremo opuesto del diámetro que pasa por $P$. Discutir el caso particular $k =\sqrt{5}$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1508
Demostrar que cualquiera que sea el nuúmero complejo $z$, se cumple que
\[\left(1+z^{2^n}\right)\left(1-z^{2^n}\right)=1-z^{2^{n+1}}.\]
Escribiendo las igualdades que resultan al dar a $n$ valores enteros no negativos y multiplicándolas, demostrar que, para $|z|\lt 1$ se cumple que
\[\frac{1}{1-z}=\lim_{k\to\infty}(1+z)(1+z^2)(1+z^4)\cdots(1+z^{2^k}\,).\]
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1506
En una cierta geometría operamos con dos tipos de elementos, puntos y rectas, relacionados entre sí por los axiomas siguientes:
- I. Dados dos puntos $A$ y $B$, existe una única recta $(AB)$ que pasa por ambos.
- II. Sobre una recta existen al menos dos puntos. Existen tres puntos que no situados sobre una misma recta.
- III. Cuando un punto $B$ está situado entre $A$ y $C$, entonces $B$ está también entre $C$ y $A$. ($A,B,C$ son tres puntos diferentes de una recta.)
- IV. Dados dos puntos $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$ en la recta $(AC)$ de forma que $C$ está entre $A$ y $B$.
- V. De entre tres puntos situados sobre una misma recta, uno, como máximo, está entre los otros dos.
- VI. Si $A,B,C$ son tres puntos no situados sobre la misma recta y $r$ es una recta que no contiene ninguno de los tres, cuando la recta $r$ pasa por un punto del segmento $[AB]$, entonces pasa por uno del $[BC]$ o pasa por uno del $[AC]$. (Designamos por $[AB]$ al conjunto de puntos que están entre $A$ y $B$).
A partir de los axiomas anteriores, demostrar las proposiciones siguientes:
- Teorema 1. Entre los puntos $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$.
- Teorema 2. De entre tres puntos situados sobre una recta, uno está siempre entre los otros dos.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2025. Esta página ha sido creada mediante software libre