Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que cualquiera que sea el nuúmero complejo $z$, se cumple que \[\left(1+z^{2^n}\right)\left(1-z^{2^n}\right)=1-z^{2^{n+1}}.\] Escribiendo las igualdades que resultan al dar a $n$ valores enteros no negativos y multiplicándolas, demostrar que, para $|z|\lt 1$ se cumple que \[\frac{1}{1-z}=\lim_{k\to\infty}(1+z)(1+z^2)(1+z^4)\cdots(1+z^{2^k}\,).\]

En una cierta geometría operamos con dos tipos de elementos, puntos y rectas, relacionados entre sí por los axiomas siguientes:

• I. Dados dos puntos $A$ y $B$, existe una única recta $(AB)$ que pasa por ambos.
• II. Sobre una recta existen al menos dos puntos. Existen tres puntos que no situados sobre una misma recta.
• III. Cuando un punto $B$ está situado entre $A$ y $C$, entonces $B$ está también entre $C$ y $A$. ($A,B,C$ son tres puntos diferentes de una recta.)
• IV. Dados dos puntos $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$ en la recta $(AC)$ de forma que $C$ está entre $A$ y $B$.
• V. De entre tres puntos situados sobre una misma recta, uno, como máximo, está entre los otros dos.
• VI. Si $A,B,C$ son tres puntos no situados sobre la misma recta y $r$ es una recta que no contiene ninguno de los tres, cuando la recta $r$ pasa por un punto del segmento $[AB]$, entonces pasa por uno del $[BC]$ o pasa por uno del $[AC]$. (Designamos por $[AB]$ al conjunto de puntos que están entre $A$ y $B$).

A partir de los axiomas anteriores, demostrar las proposiciones siguientes:

1. Teorema 1. Entre los puntos $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$.
2. Teorema 2. De entre tres puntos situados sobre una recta, uno está siempre entre los otros dos.

Calcular la suma \[\sum_{k=5}^{49}\frac{11_{(k)}}{2\sqrt[3]{1331_{(k)}}},\] donde el subíndice indica que los números $11$ y $1331$ están escritos en base $k$.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ constantes reales y definamos la función \[f(x)=\sum_{k=1}^n\frac{\cos(a_k+x)}{2^{k-1}}.\] Demostrar que si $f(x_1)=f(x_2)=0$, entonces $x_2-x_1$ es un múltiplo entero de $\pi$.

La casa SEAT recomienda a los usuarios, para la correcta conservación de las ruedas, substituciones periódicas de las mismas en la forma $R\to 3\to 2\to 1 \to 4\to R$, siendo $1,2,3,4$ las ruedas delantera izquierda, delantera derecha, trasera izquierda y trasera derecha, respectivamente, y $R$ la rueda de repuesto. Llamamos $G$ a este cambio de ruedas y llamamos $G^n$ al cambio de ruedas que resulta de aplicar $n$ veces consecutivas $G$.

1. Demostrar que el conjunto $\{G^n:n\in\mathbb{N}\}$ tiene estructura de grupo, con el producto que consiste en aplicar sucesivamente los cambios de ruedas a multiplicar.
2. Cada pinchazo de una de las ruedas equivale a sustituir la rueda pinchada por la de repuesto y, una vez reparada, esta pasa a ocupar el lugar de la de repuesto. Obtener $G$ como producto de transformaciones de tipo pinchazo. ¿Forman las transformaciones de tipo pinchazo un grupo?