Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Calcular la suma \[\sum_{k=5}^{49}\frac{11_{(k)}}{2\sqrt[3]{1331_{(k)}}},\] donde el subíndice indica que los números $11$ y $1331$ están escritos en base $k$.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ constantes reales y definamos la función \[f(x)=\sum_{k=1}^n\frac{\cos(a_k+x)}{2^{k-1}}.\] Demostrar que si $f(x_1)=f(x_2)=0$, entonces $x_2-x_1$ es un múltiplo entero de $\pi$.

La casa SEAT recomienda a los usuarios, para la correcta conservación de las ruedas, substituciones periódicas de las mismas en la forma $R\to 3\to 2\to 1 \to 4\to R$, siendo $1,2,3,4$ las ruedas delantera izquierda, delantera derecha, trasera izquierda y trasera derecha, respectivamente, y $R$ la rueda de repuesto. Llamamos $G$ a este cambio de ruedas y llamamos $G^n$ al cambio de ruedas que resulta de aplicar $n$ veces consecutivas $G$.

1. Demostrar que el conjunto $\{G^n:n\in\mathbb{N}\}$ tiene estructura de grupo, con el producto que consiste en aplicar sucesivamente los cambios de ruedas a multiplicar.
2. Cada pinchazo de una de las ruedas equivale a sustituir la rueda pinchada por la de repuesto y, una vez reparada, esta pasa a ocupar el lugar de la de repuesto. Obtener $G$ como producto de transformaciones de tipo pinchazo. ¿Forman las transformaciones de tipo pinchazo un grupo?

Demostrar que, para todo número real que no es un entero entre $-10$ y $10$, se cumple la siguiente igualdad: \[\frac{2}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}+\ldots+\frac{20}{x^2-100}=\frac{11}{(x-1)(x-10)}+\frac{11}{(x-2)(x-9)}+\ldots+\frac{11}{(x-10)(x-1)}.\]

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función tal que, para cierta constante real $a$, cumple que \[f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f(x)^2}\] para cualquier $x\in\mathbb{R}$.

1. Probar que la función $f$ es periódica.
2. Para $a=1$, dar un ejemplo de función $f$ no constante cumpliendo esta propiedad.