Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2764 problemas y 1057 soluciones.
Problema 1613
Demostrar que, si al producto de cuatro números naturales consecutivos se le añade una unidad, el resultado es un cuadrado perfecto.
pistasolución 1info
Pista. Factoriza el polinomio $(n-1)n(n+1)(n+2)+1$.
Solución. Pongamos que los números son $n-1,n,n+1,n+2$ para que el resultado nos salga más simple. Entonces, se tiene que
\begin{align*}
(n-1)n(n+1)(n+2)+1=n^4+2 n^3-n^2-2 n+1 =(n^2+n-1)^2.
\end{align*}
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Problema 1612
Demostrar que si $x$ es tal que
\[x+\frac{1}{x}=2\cos(\alpha)\]
para cierto ángulo $\alpha$, entonces, para todo entero positivo $n$ se cumple que
\[x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos(n\alpha).\]
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 1611problema obsoleto
Hallar la función $f(x)$ que cumple la ecuación
\[f'(x)+x^2f(x)=0,\]
sabiendo que $f(1)=e$. Representar gráficamente esta función y calcular la tangente en el punto de la curva de abscisa $1$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Observa que $\frac{f'(x)}{f(x)}$ es la derivada de $\ln|f(x)|$. Puedes usar el hecho de que, si dos funciones tienen la misma derivada en todos los puntos de un intervalo, entonces difieren en una constante.
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Problema 1607problema obsoleto
Dado el polinomio
\[P(x)=1+3x+5x^3+7x^5+\ldots+1001 x^{500},\]
expresar el valor numérico de su derivada de orden $325$ en $x=0$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Observa que sólo hay un sumando no nulo en esa derivada.
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Problema 1606problema obsoleto
Probar que el volumen de un toro es igual al volumen de un cilindro cuya la base es una sección meridiana de aquél y que tiene por altura la longitud de la circunferencia formada por los centros de las secciones meridianas.
pista
Sin soluciones
infoPista. Utilizar la fórmula para el volumen de un sólido de revolución en términos de integrales de funciones.
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