Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que, para todo número real que no es un entero entre $-10$ y $10$, se cumple la siguiente igualdad: \[\frac{2}{x^2-1}+\frac{4}{x^2-4}+\ldots+\frac{20}{x^2-100}=\frac{11}{(x-1)(x-10)}+\frac{11}{(x-2)(x-9)}+\ldots+\frac{11}{(x-10)(x-1)}.\]

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función tal que, para cierta constante real $a$, cumple que \[f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f(x)^2}\] para cualquier $x\in\mathbb{R}$.

1. Probar que la función $f$ es periódica.
2. Para $a=1$, dar un ejemplo de función $f$ no constante cumpliendo esta propiedad.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r} ax_1^2+bx_1+c=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c=x_3\\ ax_3^2+bx_3+c=x_4\\ \vdots\\ ax_n^2+bx_n+c=x_1 \end{array}\right\},\] donde $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son las incógnitas y $a,b,c$ son números reales con $a\neq 0$. Sea $\Delta=(b-1)^2-4ac$. Demostrar las siguientes afirmaciones:

1. Si $\Delta\lt 0$, el sistema no tiene soluciones.
2. Si $\Delta=0$, el sistema tiene exactamente una solución.
3. Si $\Delta\gt 0$, el sistema tiene más de una solución.

Razonar si puede afirmarse, negarse o no puede decidirse la continuidad en el punto $x = 0$ de una función real $f(x)$ de variable real, en cada uno de los tres casos (independientes):

1. Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{2n})=1$ y $f(\tfrac{-1}{2n})=-1$ para todo $n$ natural.
2. Se sabe que $f(x)=x^2$ para $x$ real no negativo y $f(x)=0$ para $x$ real negativo.
3. Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{n})=1$ para todo $n$ natural.

En una noche la temperatura del aire se mantuvo constante, varios grados bajo cero, y la del agua de un estanque cilíndrico muy extenso, que formaba una capa de 10 cm de profundidad, llegó a ser de cero grados, comenzando entonces a formarse una capa de hielo en la superficie. En estas condiciones puede admitirse que el espesor de la capa de hielo formada es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. A las 0:00h, el espesor del hielo era de $3$cm y a las 4:00h justamente se acabó de helar el agua del estanque. Calcular a qué hora comenzó a formarse la capa de hielo, sabiendo que la densidad del hielo formado era de $0.9$.