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La base de datos contiene 2791 problemas y 1137 soluciones.
Problema 1616
Un vaso de vidrio cilíndrico tiene $8$ cm de altura y su borde 12 cm de
circunferencia. En su interior, a $3$ cm del borde, hay una diminuta gota de miel. En un punto de su superficie exterior, perteneciente al plano que pasa por el eje del cilindro y por la gota de miel, y situado a $1$ cm de la base (o fondo) del vaso, hay una mosca. ¿Cuál es el camino más corto que la mosca debe recorrer, andando sobre la superficie del vaso, hasta la gota de miel? ¿qué longitud tiene dicho camino?
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Problema 1613
Demostrar que, si al producto de cuatro números naturales consecutivos se le añade una unidad, el resultado es un cuadrado perfecto.
pistasolución 1info
Pista. Factoriza el polinomio $(n-1)n(n+1)(n+2)+1$.
Solución. Pongamos que los números son $n-1,n,n+1,n+2$ para que el resultado nos salga más simple. Entonces, se tiene que
\begin{align*}
(n-1)n(n+1)(n+2)+1=n^4+2 n^3-n^2-2 n+1 =(n^2+n-1)^2.
\end{align*}
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Problema 1612
Demostrar que si $x$ es tal que
\[x+\frac{1}{x}=2\cos(\alpha)\]
para cierto ángulo $\alpha$, entonces, para todo entero positivo $n$ se cumple que
\[x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos(n\alpha).\]
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Problema 1611problema obsoleto
Hallar la función $f(x)$ que cumple la ecuación
\[f'(x)+x^2f(x)=0,\]
sabiendo que $f(1)=e$. Representar gráficamente esta función y calcular la tangente en el punto de la curva de abscisa $1$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Observa que $\frac{f'(x)}{f(x)}$ es la derivada de $\ln|f(x)|$. Puedes usar el hecho de que, si dos funciones tienen la misma derivada en todos los puntos de un intervalo, entonces difieren en una constante.
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Problema 1607problema obsoleto
Dado el polinomio
\[P(x)=1+3x+5x^3+7x^5+\ldots+1001 x^{500},\]
expresar el valor numérico de su derivada de orden $325$ en $x=0$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Observa que sólo hay un sumando no nulo en esa derivada.
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