Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r} ax_1^2+bx_1+c=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c=x_3\\ ax_3^2+bx_3+c=x_4\\ \vdots\\ ax_n^2+bx_n+c=x_1 \end{array}\right\},\] donde $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son las incógnitas y $a,b,c$ son números reales con $a\neq 0$. Sea $\Delta=(b-1)^2-4ac$. Demostrar las siguientes afirmaciones:

1. Si $\Delta\lt 0$, el sistema no tiene soluciones.
2. Si $\Delta=0$, el sistema tiene exactamente una solución.
3. Si $\Delta\gt 0$, el sistema tiene más de una solución.

Razonar si puede afirmarse, negarse o no puede decidirse la continuidad en el punto $x = 0$ de una función real $f(x)$ de variable real, en cada uno de los tres casos (independientes):

1. Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{2n})=1$ y $f(\tfrac{-1}{2n})=-1$ para todo $n$ natural.
2. Se sabe que $f(x)=x^2$ para $x$ real no negativo y $f(x)=0$ para $x$ real negativo.
3. Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{n})=1$ para todo $n$ natural.

En una noche la temperatura del aire se mantuvo constante, varios grados bajo cero, y la del agua de un estanque cilíndrico muy extenso, que formaba una capa de 10 cm de profundidad, llegó a ser de cero grados, comenzando entonces a formarse una capa de hielo en la superficie. En estas condiciones puede admitirse que el espesor de la capa de hielo formada es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. A las 0:00h, el espesor del hielo era de $3$cm y a las 4:00h justamente se acabó de helar el agua del estanque. Calcular a qué hora comenzó a formarse la capa de hielo, sabiendo que la densidad del hielo formado era de $0.9$.

Por una carretera circula una caravana de coches, todos a la misma velocidad, manteniendo la separación mínima entre uno y otro dada, en metros, por $v^2/100$, donde $v$ es la velocidad expresada en km/h. Suponiendo que la longitud de cada coche es de $2.89$m, calcular la velocidad a la que deben circular para que la capacidad de tráfico resulte máxima, es decir, para que en un tiempo fijado pasen el máximo número de vehículos por un punto de la carretera.

Se tiene un botella de fondo plano y circular, cerrada y llena parcialmente de vino, de modo que su nivel no supere la parte cilíndrica. Discutir en qué casos se puede calcular la capacidad de la botella sin abrirla, disponiendo solamente de un doble decímetro graduado; en caso de que sea posible, describir cómo se calcularía. (Problema de la Gara Matematica italiana)