Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Probar que la media aritmética de los números $n \sin n^\circ$ para $n\in\{2, 4, 6, \dots, 180\}$ es igual a $\cot 1^\circ$.

Hallar el menor entero positivo $k$ para el que existe una función $f: \mathbb{Z} \to \{1, 2, \dots, k\}$ con la propiedad de que $f(x) \neq f(y)$ siempre que $|x - y| \in \{5,7,12\}$.

Hallar todas las sucesiones de números reales $a_1, a_2, \dots, a_{1995}$ que cumplen que $$2\sqrt{a_n - (n-1)} \ge a_{n+1} - (n-1), \quad \text{para todo } n = 1, 2, \dots, 1994,$$ y también $$2\sqrt{a_{1995} - 1994} \geq a_1 + 1.$$

Determinar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumplen las siguientes tres condiciones:

• $f(x) + f(y) + 1 \ge f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$,
• $f(0) \ge f(x)$ para todo $x \in [0,1)$,
• $-f(-1) = f(1) = 1$.

Hallar el número total de valores enteros distintos que toma la función \[f(x)=\bigl\lfloor x\bigr\rfloor+\bigl\lfloor 2x\bigr\rfloor+\bigl\lfloor\tfrac{5}{3}x\bigr \rfloor+\bigl\lfloor 3x\bigr \rfloor+\bigl\lfloor 4x\bigr\rfloor\] siendo $0\leq x\leq 100$ un número real.