Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Haciendo el cambio de variable $t=x-3$, obtenemos que $\mathrm{d}t=\mathrm{d}x$ y que $t$ se mueve en el intervalo $[-1,1]$ cuando $x$ se mueve en el intervalo $[2,4]$. En definitiva, \[\int_2^4\mathrm{sen}((x-3)^3)\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\mathrm{sen}(t^3)\,\mathrm{d}t.\] Ahora bien, la función $f(t)=\sen(t^3)$ es impar (es decir, cumple que $f(-t)=-f(t)$ y la estamos integrando en el intervalo $[-1,1]$, simétrico respecto del origen, luego la integral que del enunciado vale $0$.

Nota. La función $f(t)=\sen(t^3)$ no tiene una primitiva en términos de funciones elementales, luego no es plausible abordar el problema resolviendo la integral de forma directa.

Solución. Podemos desarrollar \[z^2+az+b=(z-z_1)(z-z_2)=z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2\] e identificar coeficientes para obtener que \[z_1+z_2=-a,\qquad z_1z_2=b.\] Si llamamos $s_n=z_1^n+z_2^n$, tenemos que \[s_n=(z_1^{n-1}+z_2^{n-1})(z_1+z_2)-z_1z_2(z_1^{n-2}+z_2^{n-2})=-as_{n-1}-bs_{n-2},\] lo que nos dice que cada término de la sucesión $s_n$ es suma de los dos términos precedentes multiplicados por reales. Como los términos iniciales $s_1=-a$ y $s_0=2$ son números reales, toda la sucesión estará formada por números reales.

En el caso de $z^2-2z+2=0$, tenemos las raíces $z_1=1+i$ y $z_2=1-i$, que podemos expresar en forma polar como $z_1=\sqrt{2}(\cos(45)+i\mathrm{sen}(45))$ y $z_2=\sqrt{2}(\cos(-45)+i\mathrm{sen}(-45))$, luego la fórmula de De Moivre nos dice que \begin{align*} z_1^n+z_2^n&=\sqrt{2^n}\left(\cos(45n)+i\,\mathrm{sen}(45n)+\cos(-45n)+i\,\mathrm{sen}(-45n)\right)\\ &=\sqrt{2^n}\left(2\cos(45n)\right)=2^{1+\frac{n}{2}}\cos(45n), \end{align*} donde hemos usado que la función coseno es par y la función seno impar. Además, $\cos(45n)$ tiene un comportamiento periódico de período $8$, luego podemos escribir \[z_1^n+z_2^n=\begin{cases} 2^{1+\frac{n}{2}}&\text{si }n\equiv 0\ (\text{mod }8),\\ 2^{\frac{n+1}{2}}&\text{si }n\equiv 1\text{ o }n\equiv 7\ (\text{mod }8),\\ 0&\text{si }n\equiv 2\text{ o }n\equiv 6\ (\text{mod }8),\\ -2^{\frac{n+1}{2}}&\text{si }n\equiv 3\text{ o }n\equiv 5\ (\text{mod }8),\\ -2^{1+\frac{n}{2}}&\text{si }n\equiv 4\ (\text{mod }8).\\ \end{cases}\] Observamos además que en todos los casos da un resultado entero.

Solución. Supongamos que $z_1,z_2,z_3$ son distintos. Si tomamos uno de los puntos, pongamos $z_1$, tenemos que se forma un triángulo equilátero si y solo si $z_2-z_1$ y $z_3-z_1$ son números complejos que difieren en una rotación de $\pm\frac{\pi}{3}$, es decir, $(z_3-z_1)=\pm 1_{\pi/3}\cdot (z_2-z_1)$. Elevando al cubo, esto a su vez es equivalente a que $(z_3-z_1)^3=-(z_2-z_1)^3$. Observemos que esta última ecuación incluye una posibilidad más $(z_3-z_1)=-(z_2-z_1)$ que hay que desechar porque $z_1$ es el punto medio de $z_2$ y $z_3$). Esto último puede verse a partir de factorizar $(z_3-z_1)^3+(z_2-z_1)^3=0$ como suma de dos cubos: \[(2z_1-z_2-z_3)(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1-z_1^2-z_2^2-z_3^2)=0.\] Por lo tanto, la condición sobre los números complejos que nos piden es que sean los tres distintos y que \[z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1^2+z_2^2+z_3^2.\]

Nota. Este es un problema clásico de variable compleja, pero el enunciado no está claro.

Condiciones necesarias y suficientes pueden haber muchas; por ejemplo, decir directamente que $\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\pm 1_{\pi/3}$ o que $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$ también son una respuesta rigurosamente correctas.