Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1441
Un semáforo instalado en un cruce principal de una vía en la que se circula en ambos sentidos permanece en rojo $30$s y en verde otros $30$s, alternativamente. Se desea instalar otro semáforo en la misma vía, para un cruce secundario situado a $400$m de distancia del primero, que funcione con el mismo período de 1 min de duración. Se quiere que los coches que circulan a $60$km/h por la vía en cualquiera de los dos sentidos y que no se tienen que parar si sólo hubiese el semáforo del cruce principal tampoco se tengan que parar después de instalar el del cruce secundario. ¿Cuántos segundos puede estar encendido el rojo en el semáforo secundario?
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Problema 1439problema obsoleto
Se sabe que la función real $f(t)$ es monótona creciente en el intervalo $−8\leq t\leq 8$, pero no se sabe nada de lo que ocurre fuera de éste. ¿En qué intervalo de valores de $x$ se puede asegurar que sea monótona creciente la función $f(2x-x^2)$?
pistasolución 1info
Pista. Calcula cuándo $g(x)=2x-x^2$ cae en el intervalo $[-8,8]$ y también ten en cuenta su propia monotonía.
Solución. Observamos que la función $g(x)=2x-x^2=1-(x-1)^2$ toma el valor $-8$ en $x=-2$ y $x=4$, pero no toma el valor $8$ ya que tiene su máximo en $x=1$, donde vale $1$. Además, en $[-2,1]$ es creciente y en $[1,4]$ es decreciente. Por lo tanto:
- Fuera del intervalo $(-2,4)$ no sabemos la monotonía de $f(g(x))$ ya que desconocemos lo que le pasa a $f$ fuera del intervalo $[-8,8]$.
- Para $x,y\in[-2,1]$ con $x\lt y$, se tiene que $-8\leq g(x)\leq g(y)\leq 1$, luego $f(g(x))\leq f(g(y))$ y hemos probado que $f(g(x))$ es monótona creciente en $[-2,1]$.
- Para $x,y\in[1,4]$ con $x\lt y$, se tiene que $-8\leq g(y)\leq g(x)\leq 1$, luego $f(g(y))\leq f(g(x))$ y tenemos que $f(g(x))$ es monótona decreciente en $[1,4]$.
Por lo tanto, solo podemos asegurar que $f(2x-x^2)$ es monótona creciente en $[-2,1]$.
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Problema 1438
Determinar los valores de $a,b,c$ para que la representación gráfica de la función
\[y= ax^3 + bx^2 + cx\]
tenga un punto de inflexión en el punto de abscisa $x=3$, con recta tangente en dicho punto de ecuación $x − 4y + 1 = 0$. Dibujar después la gráfica correspondiente.
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Problema 1437
Determinar una progresión geométrica de siete términos, sabiendo que la suma de los tres primeros es igual a $7$ y la suma de los tres últimos es igual a $112$.
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Problema 1434
Se quiere colgar un peso $P$ de modo que quede $7$m por debajo de un techo. Para ello se suspende mediante un cable vertical sujeto al punto medio $M$ de una cadena colgada por sus extremos de dos puntos del techo $A$ y $B$ distantes entre sí $4$m. El precio del cable $PM$ es de $p$ pesetas por metro y el de la cadena $AMB$ es de $q$ pesetas por metro. Se pide:
- Determinar las longitudes del cable y de la cadena para obtener el precio más económico de la instalación.
- Discutir la solución para los distintos valores de la relación $p/q$ de ambos precios.
Nota: Se supone que el peso es lo suficientemente grande para poder considerar como rectilíneos los segmentos de cadena AM y MB.
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