Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que $z_1,z_2,z_3$ son distintos. Si tomamos uno de los puntos, pongamos $z_1$, tenemos que se forma un triángulo equilátero si y solo si $z_2-z_1$ y $z_3-z_1$ son números complejos que difieren en una rotación de $\pm\frac{\pi}{3}$, es decir, $(z_3-z_1)=\pm 1_{\pi/3}\cdot (z_2-z_1)$. Elevando al cubo, esto a su vez es equivalente a que $(z_3-z_1)^3=-(z_2-z_1)^3$. Observemos que esta última ecuación incluye una posibilidad más $(z_3-z_1)=-(z_2-z_1)$ que hay que desechar porque $z_1$ es el punto medio de $z_2$ y $z_3$). Esto último puede verse a partir de factorizar $(z_3-z_1)^3+(z_2-z_1)^3=0$ como suma de dos cubos: \[(2z_1-z_2-z_3)(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1-z_1^2-z_2^2-z_3^2)=0.\] Por lo tanto, la condición sobre los números complejos que nos piden es que sean los tres distintos y que \[z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1^2+z_2^2+z_3^2.\]

Nota. Este es un problema clásico de variable compleja, pero el enunciado no está claro.

Condiciones necesarias y suficientes pueden haber muchas; por ejemplo, decir directamente que $\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\pm 1_{\pi/3}$ o que $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$ también son una respuesta rigurosamente correctas.

Solución. Una forma estándar de resolver este problema es comprobar todos los axiomas de cuerpo conmutativo, pero hay una idea más rápida, que es identificar la matriz con un número complejo: \[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\equiv a+ib.\] La suma y el producto de matrices de este tipo no es más que la suma y producto de los correspondientes números complejos. Por lo tanto, se trata de un cuerpo conmutativo isomorfo a $\mathbb{C}$.

La respuesta a la última pregunta es también consecuencia del hecho bien conocido de que todo número complejo no nulo tiene exactamente dos raíces cuadradas (una opuesta de la otra).

Solución. Llamemos $D_n$ al determinante del enunciado. La suma de las filas desde la $2$ hasta la $n$ es $(3(n-1),3n+2,3n+2,\ldots,3n+2)$. Por lo tanto, si a la primera fila le restamos la suma del resto de filas multiplicadas por $\frac{3}{n+2}$ hacemos ceros en todos sus elementos menos en el primero, con lo que queda \begin{align*} D_n&=\left|\begin{matrix}8-\frac{9(n-1)}{3n+2}&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}&\ldots&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}\\ 3&8&3&\cdots&3\\ 3&3&8&\cdots&3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 3&3&3&\cdots&8\end{matrix}\right|\\ &=\left|\begin{matrix}\frac{5(3n+5)}{3n+2}&0&0&\ldots&0\\ 3&8&3&\cdots&3\\ 3&3&8&\cdots&3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 3&3&3&\cdots&8\end{matrix}\right|=5\frac{3n+5}{3n+2}\cdot D_{n-1}, \end{align*} donde hemos desarrollado el determinante por la primera fila. Repitiendo el proceso hasta llegar a $D_1=8$, obtenemos \[D_n=5^{n-1}\frac{3n+5}{3n+2}\cdot\frac{3n+2}{3n-1}\cdot\frac{3n-1}{3n-4}\cdots\frac{14}{11}\cdot\frac{11}{8}\cdot 8=5^{n-1}(3n+5),\] donde hemos cancelado numeradores y denominadores.

Para que $D_n$ sea par, tiene que ser $3n+5$ par y $n\geq 2$, lo que equivale a que $n$ sea cualquier impar mayor que $1$.