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La base de datos contiene 2791 problemas y 1137 soluciones.
Problema 1596
Utilizando una escalera mecánica para bajar a la estación del Metro y andando con paso regular, observo que necesito 50 escalones para bajar. Si luego vuelvo a subirla corriendo, a una velocidad $5$ veces mi paso normal anterior, compruebo que necesito $125$ escalones para llegar arriba. ¿Cuántos escalones visibles tiene la escalera mecánica cuando se encuentra parada?
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Problema 1593problema obsoleto
Demostrar que todas las matrices cuadradas de la forma
\[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\]
(siendo $a,b\in\mathbb{R}$) forman un cuerpo conmutativo $\mathbb{K}$ cuando se consideran las operaciones usuales de suma y producto de matrices. Probar también que, si $A\in\mathbb{K}$ es un elemento no nulo de dicho cuerpo, existen dos matrices de $\mathbb{K}$ tales que el cuadrado de cada una sea igual a $A$.
pistasolución 1info
Pista. Observa que cuerpo en cuestión $\mathbb{K}$ es isomorfo al cuerpo de los números complejos sin más que realizar la identificación
\[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\ \longleftrightarrow\ a+ib.\]
Resuelve el problema en los complejos y trasládalo a $\mathbb{K}$.
Solución. Una forma estándar de resolver este problema es comprobar todos los axiomas de cuerpo conmutativo, pero hay una idea más rápida, que es identificar la matriz con un número complejo:
\[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\equiv a+ib.\]
La suma y el producto de matrices de este tipo no es más que la suma y producto de los correspondientes números complejos. Por lo tanto, se trata de un cuerpo conmutativo isomorfo a $\mathbb{C}$.
La respuesta a la última pregunta es también consecuencia del hecho bien conocido de que todo número complejo no nulo tiene exactamente dos raíces cuadradas (una opuesta de la otra).
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Problema 1592problema obsoleto
Dado el determinante de orden $n$
\[\left|\begin{matrix}
8&3&3&\ldots&3\\
3&8&3&\ldots&3\\
3&3&8&\ldots&3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
3&3&3&\ldots&8
\end{matrix}\right|,\]
calcular su valor y determinar para qué valores de $n$ dicho valor es múltiplo de $10$.
pistasolución 1info
Pista. Si llamamos $D_n$ al determinante, puede relacionarse con $D_{n-1}$ haciendo ceros en una fila o columna.
Solución. Llamemos $D_n$ al determinante del enunciado. La suma de las filas desde la $2$ hasta la $n$ es $(3(n-1),3n+2,3n+2,\ldots,3n+2)$. Por lo tanto, si a la primera fila le restamos la suma del resto de filas multiplicadas por $\frac{3}{n+2}$ hacemos ceros en todos sus elementos menos en el primero, con lo que queda
\begin{align*}
D_n&=\left|\begin{matrix}8-\frac{9(n-1)}{3n+2}&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}&\ldots&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}\\
3&8&3&\cdots&3\\
3&3&8&\cdots&3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
3&3&3&\cdots&8\end{matrix}\right|\\
&=\left|\begin{matrix}\frac{5(3n+5)}{3n+2}&0&0&\ldots&0\\
3&8&3&\cdots&3\\
3&3&8&\cdots&3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
3&3&3&\cdots&8\end{matrix}\right|=5\frac{3n+5}{3n+2}\cdot D_{n-1},
\end{align*}
donde hemos desarrollado el determinante por la primera fila. Repitiendo el proceso hasta llegar a $D_1=8$, obtenemos
\[D_n=5^{n-1}\frac{3n+5}{3n+2}\cdot\frac{3n+2}{3n-1}\cdot\frac{3n-1}{3n-4}\cdots\frac{14}{11}\cdot\frac{11}{8}\cdot 8=5^{n-1}(3n+5),\]
donde hemos cancelado numeradores y denominadores.
Para que $D_n$ sea par, tiene que ser $3n+5$ par y $n\geq 2$, lo que equivale a que $n$ sea cualquier impar mayor que $1$.
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Problema 1591
Se considera la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por
\[f(x)=|x^2-4x+3|.\]
Estudiar su continuidad y derivabilidad en el punto de abscisa $x=1$. Su gráfica determina con el eje $X$ una figura cerrada. Determinar el área de dicha figura.
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Problema 1589
Dada una matriz cuadrada $M$ de orden $n$ sobre el cuerpo de los números reales, encontrar una matriz simétrica y una antisimétrica tales que su suma sea precisamente $M$.
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