Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que fabrica $x$ unidades del producto más caro, $y$ unidades del intermedio y $z$ unidades del más económico, luego deben cumplirse las siguientes restricciones: \[\left\{\begin{array}{l}70x+65y+50z=6850,\\x+y+z=100\end{array}\right.\] Multiplicando la segunda ecuación por $70$ y restándole al resultado la primera, llegamos tras simplificar a la siguiente condición \[y+4z=30.\] Queremos la solución de esta ecuación en números enteros que minimice $y+z$ (lo que equivale a maximizar $x$). Claramente, debemos tomar $z$ lo mayor posible y completar con $y$. El mayor valor de $z$ que hace que $y+4z$ no pase de $30$ es $z=7$, lo que nos deja con $y=2$ y $x=100-x-y=91$.

Por lo tanto, debemos tomar $91$ unidades del producto que vale 70 pesetas, $2$ unidades del que vale $65$ pesetas y $7$ unidades del que vale $50$ pesetas.

Solución. Tenemos que \[\frac{3x-b}{3x-5b}=\frac{3a-4b}{3a-8b}\ \Longleftrightarrow\ (3x-b)(3a-8b)=(3a-4b)(3x-5b)\ \Longleftrightarrow\ b(x-a+b)=0.\] Por lo tanto, con la hipótesis de que ambas razones son iguales, necesariamente $b=0$ (en cuyo caso sí se tiene claramente que ambas son igual a $1$ y no hay paradoja) o bien $x-a+b=0$ (en cuyo caso la última igualdad no es $1$ ya que el denominador es cero y no puede hacerse el razonamiento).

En otras palabras, si $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$ entonces estas razones coinciden con $\frac{p-r}{q-s}$ con la condición adicional de que $q-s$ no sea cero.