Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2764 problemas y 1057 soluciones.
Problema 2673
APMO, 1994-P1
Determinar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumplen las siguientes tres condiciones:
- $f(x) + f(y) + 1 \ge f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$,
- $f(0) \ge f(x)$ para todo $x \in [0,1)$,
- $-f(-1) = f(1) = 1$.
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Problema 2669
APMO, 1999-P2
Hallar el número total de valores enteros distintos que toma la función
\[f(x)=\bigl\lfloor x\bigr\rfloor+\bigl\lfloor 2x\bigr\rfloor+\bigl\lfloor\tfrac{5}{3}x\bigr \rfloor+\bigl\lfloor 3x\bigr \rfloor+\bigl\lfloor 4x\bigr\rfloor\]
siendo $0\leq x\leq 100$ un número real.
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Problema 2649
ASU, 1991-P20
- ¿Existen 4 vectores en el plano tales que ninguno sea múltiplo de otro, pero la suma de cada par sea perpendicular a la suma de los otros dos?
- ¿Existen 91 vectores no nulos en el plano tales que la suma de cualesquiera 19 sea perpendicular a la suma de los restantes?
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Problema 2645
ASU, 1991-P16
- Sean $r_1, r_2, \dots, r_{100}, c_1, c_2, \dots, c_{100}$ números reales distintos. Se escribe $r_i + c_j$ en la posición $(i,j)$ de una matriz $100 \times 100$. Si el producto de los números en cada columna es $1$, demostrar que el producto de los números en cada fila es $-1$.
- Sean $r_1, r_2, \dots, r_{2n}, c_1, c_2, \dots, c_{2n}$ números reales distintos. Se escribe $r_i + c_j$ en la posición $(i,j)$ de una matriz $2n \times 2n$. Si el producto de los números en cada columna es el mismo, demostrar que el producto de los números en cada fila también es el mismo.
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Problema 2604
ASU, 1989-P23
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. ¿Existe una función $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que
\[f(n+1) = f(f(n)) + f(f(n+2))\]
para cualquier $n\in\mathbb{N}$.
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