Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2803 problemas y 1137 soluciones.
Problema 1573problema obsoleto
Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $e$ su elemento neutro. Probar que si todos los elementos $x$ de $G$ cumplen que $x\cdot x=e$, entonces el grupo es abeliano (o sea, conmutativo).
pistasolución 1info
Pista. Usa que $(x\cdot y)\cdot (x\cdot y)=e$.
Solución. Consideremos dos elementos $x,y\in G$. Tenemos entonces que $(x\cdot y)\cdot (x\cdot y)=e$. Usando la propiedad asociativa para multiplicar esta expresión por $x$ por la izquierda y por $y$ por la derecha y usando que $x\cdot x=e$ e $y\cdot y =e$, llegamos a que $e\cdot y\cdot x\cdot e=x\cdot e\cdot y$. Usando ahora que $e$ es el elemento neutro, tenemos finalmente que $y\cdot x=x\cdot y$, es decir, el grupo es conmutativo.
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Problema 1571problema obsoleto
Designaremos por $Z_{(5)}$ un cierto subconjunto del conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales. Un racional pertenece a $Z_{(5)}$ si y solo si se puede escribir como una fracción en la que el denominador no sea múltiplo de $5$. Por ejemplo, $13/10$ no pertenece a $Z_{(5)}$, ya que los denominadores de todas las fracciones iguales a $13/10$ son múltiplos de $5$; en cambio, $75/10$ pertenece a $Z_{(5)}$ ya que $75/10=15/12$.
- ¿Qué estructura algebraica (semigrupo, grupo, etc.) tiene $Z_{(5)}$ respecto de la suma?
- ¿Y respecto del producto?
- ¿Es $Z_{(5)}$ un subanillo de $\mathbb{Q}$?
- ¿Es $Z_{(5)}$ un $Z_{(5)}$-espacio vectorial?
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 1568problema obsoleto
En el espacio se designan por $u_1, u_2, u_3$ los tres vectores unitarios en la dirección positiva de los ejes $x,y,z$, respectivamente.
- Probar que el punto $P(t) = (1-t)u_1+(2-3t)u_2+(2t-1)u_3$, donde $t$ toma todos los valores reales, describe una recta (que designaremos por $L$).
- ¿Qué trayectoria describe el punto $Q(t)=(1-t^2)u_1+(2-3t^2)u_2+(2t^2-1)u_3$ si $t$ toma todos los valores reales?
- Hallar un vector paralelo a $L$.
- ¿Para qué valores de $t$ el punto $P(t)$ está sobre el plano $2x+3y+2z+1=0$?
- Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo al anterior y que contenga el punto $P(3)$.
- Hallar la ecuación cartesiana del plano perpendicular a $L$ que contenga el punto $P(2)$.
Sin pistas
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Problema 1563problema obsoleto
Se considera en el plano complejo la sucesión $\{a_n\}$ definida por
\[a_0=1,\qquad a_n=a_{n-1}+\tfrac{1}{n}\bigl(\cos(45^\circ)+i\,\mathrm{sen}( 45^\circ)\bigr)^n.\]
Probar que la sucesión de las partes reales de los términos de $\{a_n\}$ es convergente y que su límite es un número real comprendido entre $0.85$ y $1.15$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 1562problema obsoleto
Determinar todas las soluciones reales del sistema
\[\left.\begin{array}{r}
2x-5y+11z-6=0\\
-x+3y-16z+8=0\\
4x-5y-83z+38=0\\
3x+11y-z+9\gt 0
\end{array}\right\}\]
en el que las tres primeras son ecuaciones y la última una inecuación.
pistasolución 1info
Pista. Las tres primeras ecuaciones determinan una recta en el espacio.
Solución. Consideremos las dos primeras ecuaciones y llamemos $z=t$. Entonces, tenemos un sistema de dos ecuaciones en las incógnitas $x$ e $y$ que se resuelve fácilmente:
\[\left.\begin{array}{r}2x-5y=6-11t\\x-3y=8-16t\end{array}\right\}\ \leadsto\ \left\{\begin{array}{l}x=-22+47t,\\y=-10+21t.\end{array}\right.\]
Por lo tanto, las soluciones de estas dos primeras ecuaciones vienen dadas por esta parametrización para $t\in\mathbb{R}$. Si sustituimos en la tercera ecuación obtenemos tras algunos cálculos tediosos $0=0$, luego la recta del espacio que determinan las dos primeras ecuaciones está contenida en el plano que determina la tercera. Si sustituimos en la inecuación, obtenemos
\[3x+11y-z+9\gt 0\ \Longleftrightarrow\ -167+361t\gt 0,\]
luego las soluciones al sistema son
\[(x,y,z)=(-22+47t,-10+21t,t),\qquad \text{para todo }t\gt\frac{167}{361}.\]
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