Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En una competición deportiva hay $m$ medallas que se dan en $n$ días sucesivos, siendo $n\gt 1$. El primer día se da una medalla y $1/7$ de las restantes. El segundo día, se dan dos medallas y $1/7$ de las restantes, y así sucesivamente. El día $n$-ésimo, que es el último, se dan $n$ medallas y no sobra ninguna. ¿Cuántos días duró la competición y cuántas medallas se dieron?

Consideremos la sucesión $\{c_n\}$ definida por \[c_n=a_1^n+a_2^n+\ldots+a_s^n,\] en donde $a_1,a_2,\ldots,a_s$ son números reales no todos ellos nulos. Supongamos que hay un número infinito de términos $c_n$ que son iguales a cero. Determinar los valores de $n$ para los que $c_n=0$.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{l} \phantom{|a_1-a_2|x_2+}\ \ |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4=1\\ |a_2-a_1|x_1\phantom{|a_1-a_2|x_2+}\ \ +|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4=1\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2\phantom{|a_1-a_2|x_2+}\ \ +|a_3-a_4|x_4=1\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3\phantom{|a_1-a_2|x_2+}\ \ =1\end{array}\right.\] donde $a_1,a_2,a_3,a_4$ son cuatro números reales distintos.

Probar que para todo número natural $n$ y para todo número real $x$ distinto de $\frac{k\pi}{2^t}$, siendo $k$ y $0\leq t\leq n$ enteros, \[\frac{1}{\mathrm{sen}(2x)}+\frac{1}{\mathrm{sen}(4x)}+\ldots+\frac{1}{\mathrm{sen}(2^nx)}=\cot(x)-\cot(2^nx).\]

En una competición matemáticas se propusieron tres problemas $A$, $B$ y $C$. Entre los concursantes, hubo 25 estudiantes que resolvieron al menos uno de los problemas. De todos los que no resolvieron el problema $A$, el número de los que resolvieron $B$ fue el doble de los que resolvieron $C$. El número de estudiantes que resolvieron solo $A$ fue uno más que los que resolvieron $A$ junto con al menos uno de los otros dos problemas. De todos los estudiantes que resolvieron solo un problema, la mitad no resolvió $A$. ¿Cuántos estudiantes resolvieron solo $B$?