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La base de datos contiene 2791 problemas y 1137 soluciones.
Problema 1571problema obsoleto
Designaremos por $Z_{(5)}$ un cierto subconjunto del conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales. Un racional pertenece a $Z_{(5)}$ si y solo si se puede escribir como una fracción en la que el denominador no sea múltiplo de $5$. Por ejemplo, $13/10$ no pertenece a $Z_{(5)}$, ya que los denominadores de todas las fracciones iguales a $13/10$ son múltiplos de $5$; en cambio, $75/10$ pertenece a $Z_{(5)}$ ya que $75/10=15/12$.
- ¿Qué estructura algebraica (semigrupo, grupo, etc.) tiene $Z_{(5)}$ respecto de la suma?
- ¿Y respecto del producto?
- ¿Es $Z_{(5)}$ un subanillo de $\mathbb{Q}$?
- ¿Es $Z_{(5)}$ un $Z_{(5)}$-espacio vectorial?
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Problema 1568problema obsoleto
En el espacio se designan por $u_1, u_2, u_3$ los tres vectores unitarios en la dirección positiva de los ejes $x,y,z$, respectivamente.
- Probar que el punto $P(t) = (1-t)u_1+(2-3t)u_2+(2t-1)u_3$, donde $t$ toma todos los valores reales, describe una recta (que designaremos por $L$).
- ¿Qué trayectoria describe el punto $Q(t)=(1-t^2)u_1+(2-3t^2)u_2+(2t^2-1)u_3$ si $t$ toma todos los valores reales?
- Hallar un vector paralelo a $L$.
- ¿Para qué valores de $t$ el punto $P(t)$ está sobre el plano $2x+3y+2z+1=0$?
- Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo al anterior y que contenga el punto $P(3)$.
- Hallar la ecuación cartesiana del plano perpendicular a $L$ que contenga el punto $P(2)$.
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Problema 1563problema obsoleto
Se considera en el plano complejo la sucesión $\{a_n\}$ definida por
\[a_0=1,\qquad a_n=a_{n-1}+\tfrac{1}{n}\bigl(\cos(45^\circ)+i\,\mathrm{sen}( 45^\circ)\bigr)^n.\]
Probar que la sucesión de las partes reales de los términos de $\{a_n\}$ es convergente y que su límite es un número real comprendido entre $0.85$ y $1.15$.
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Problema 1562problema obsoleto
Determinar todas las soluciones reales del sistema
\[\left.\begin{array}{r}
2x-5y+11z-6=0\\
-x+3y-16z+8=0\\
4x-5y-83z+38=0\\
3x+11y-z+9\gt 0
\end{array}\right\}\]
en el que las tres primeras son ecuaciones y la última una inecuación.
pistasolución 1info
Pista. Las tres primeras ecuaciones determinan una recta en el espacio.
Solución. Consideremos las dos primeras ecuaciones y llamemos $z=t$. Entonces, tenemos un sistema de dos ecuaciones en las incógnitas $x$ e $y$ que se resuelve fácilmente:
\[\left.\begin{array}{r}2x-5y=6-11t\\x-3y=8-16t\end{array}\right\}\ \leadsto\ \left\{\begin{array}{l}x=-22+47t,\\y=-10+21t.\end{array}\right.\]
Por lo tanto, las soluciones de estas dos primeras ecuaciones vienen dadas por esta parametrización para $t\in\mathbb{R}$. Si sustituimos en la tercera ecuación obtenemos tras algunos cálculos tediosos $0=0$, luego la recta del espacio que determinan las dos primeras ecuaciones está contenida en el plano que determina la tercera. Si sustituimos en la inecuación, obtenemos
\[3x+11y-z+9\gt 0\ \Longleftrightarrow\ -167+361t\gt 0,\]
luego las soluciones al sistema son
\[(x,y,z)=(-22+47t,-10+21t,t),\qquad \text{para todo }t\gt\frac{167}{361}.\]
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Problema 1561problema obsoleto
Sabemos que $\mathbb{R}^3=\{(x_1,x_2,x_3):x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$ es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto por escalares:
\begin{align*}
(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)&=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3),\\
\lambda(x_1,x_2,x_3)&=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3).
\end{align*}
Consideremos el siguiente subconjunto de $\mathbb{R}^3$:
\[L=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=0\}.\]
- Demostrar que $L$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$.
- En $\mathbb{R}^3$ se define la relación binaria $x\sim y$ si y sólo si $x-y\in L$. Demostrar que se trata de una relación de equivalencia.
- Hallar dos vectores de $\mathbb{R}^3$ que pertenezcan a la misma clase de equivalencia respecto de $\sim$ que el vector $(-1,3,2)$.
pistasolución 1info
Pista. Para el apartado (a), se debe comprobar que la suma de elementos de $L$ y el producto de un elemento de $L$ por un escalar, siguen siendo elementos de $L$. En el apartado (b), se debe comprobar que $\sim$ es reflexiva, transitiva y simétrica. En el apartado (c), observa que los elementos de la clase de equivalencia de un vector dado son los que se obtienen sumándole elementos de $L$.
Solución.
- Sean $(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\in L$. Entonces
\[
x_1+x_2+x_3=0,\qquad y_1+y_2+y_3=0.
\]
Por tanto,
\begin{align*}
(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)
&=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3),
\end{align*}
y se tiene
\[
(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)
=(x_1+x_2+x_3)+(y_1+y_2+y_3)=0,
\]
luego $(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)\in L$.
Por otro lado, sea $\lambda\in\mathbb{R}$ y $(x_1,x_2,x_3)\in L$. Entonces \begin{align*} \lambda(x_1,x_2,x_3)&=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3), \end{align*} y \[ \lambda x_1+\lambda x_2+\lambda x_3=\lambda(x_1+x_2+x_3)=\lambda\cdot 0=0, \] por lo que $(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)\in L$.
Con todo ello, $L$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$.
- Comprobamos las propiedades de relación de equivalencia.
Reflexiva. Para todo $x\in\mathbb{R}^3$, \[ x-x=(0,0,0)\in L, \] luego $x\sim x$.
Simétrica. Si $x\sim y$, entonces $x-y\in L$. Como $L$ es subespacio, también \[ y-x=-(x-y)\in L, \] luego $y\sim x$.
Transitiva. Si $x\sim y$ y $y\sim z$, entonces \[ x-y\in L,\qquad y-z\in L. \] Como $L$ es subespacio, se tiene \[ (x-y)+(y-z)=x-z\in L, \] luego $x\sim z$.
- Buscamos vectores de $\mathbb{R}^3$ en la misma clase de equivalencia que $(-1,3,2)$.
Un vector $(x_1,x_2,x_3)$ es equivalente a $(-1,3,2)$ si y sólo si \[ (x_1,x_2,x_3)-(-1,3,2)=(x_1+1,x_2-3,x_3-2)\in L, \] es decir, \[ (x_1+1)+(x_2-3)+(x_3-2)=0. \] Esto equivale a \[ x_1+x_2+x_3=4. \]
Por tanto, cualquier vector cuyas coordenadas sumen $4$ pertenece a la misma clase. Por ejemplo, $(4,0,0)$ y $(1,1,2)$.
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