Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada entero positivo $n$ definimos \[f(n)=\Bigl\lfloor n+\sqrt{n}+\tfrac{1}{2}\Bigr\rfloor.\] Demostrar que, para cada entero positivo $k$, la ecuación $f(f(n))-f(n)=k$ tiene exactamente $2k-1$ soluciones.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tales que, para cualesquiera enteros $a,b,c\in\mathbb{Z}$ con $a+b+c=0$, se tiene que \[f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2.\]

Determinar el mayor valor de $n$ para el que existe una sucesión $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ de números naturales, todos ellos menores que $1998$ y de forma que $x_i=|x_{i-1}-x_{i-2}|$ para todo $3\leq i\leq n$.

1. Demostrar que, para todo $x,y\geq 0$, se cumple la desigualdad \[\lfloor 5x\rfloor+\lfloor 5y\rfloor\geq \lfloor 3x+y\rfloor 3y+x\rfloor.\]
2. Usando (a) o mediante otro método, probar que \[\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}\] es un número entero para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$.

Nota: $\lfloor u\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $u$.

Hallar todas las raíces, reales o complejas, del sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=3\\x^3+y^3+z^3=3 \end{array}\right\}\]