Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El conjunto $A$ es una semirrecta abierta que parte $2+3i$ con ángulo $\frac{\pi}{4}$ respecto del eje de abscisas y el conjunto $B$ es el interior del círculo de centro $2+i$ y radio $2$. En coordenadas reales, se tiene \begin{align*} A&=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y=x+1,\ x\gt 2\},\\ B&=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:(x-2)^2+(y-1)^2\lt 4\}. \end{align*} Es inmediato comprobar que la recta y la circunferencia se cortan en los puntos $(0,1)$ y $(2,3)$, pero el segmento abierto que une estos puntos, que es el trozo de la recta en el interior del círculo, está completamente fuera de la semirrecta abierta $B$, luego $A\cap B=\emptyset$.

Por lo tanto, la proyección de $A\cap B$ sobre el eje $OX$ es vacía.

Solución. Empecemos con el apartado (a), para lo que tenemos que ver que la suma de matrices en $M$ es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro y elemento opuesto. Sin embargo, como la suma de matrices es componente a componente y la suma en el anillo $\mathbb{K}$ cumple todas estas propiedades, también se cumplirán en $M$. En particular, el elemento neutro es la matriz nula y el elemento opuesto es el que se obtiene haciendo el opuesto de cada una de las entradas de la matriz.

En cuanto al producto de matrices, consideremos tres matrices \[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix},\quad C= \begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}\] en $M$. Tenemos que comprobar tres propiedades:

• Asociativa. Por un lado, tenemos que \begin{align*} (AB)C&=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})c_{11}+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})c_{21} & (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})c_{12}+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})c_{22}\\ (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})c_{11}+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})c_{21} & (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})c_{12}+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})c_{22} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}c_{11}+a_{12}b_{21}c_{11}+a_{11}b_{12}c_{21}+a_{12}b_{22}c_{21} & a_{11}b_{11}c_{12}+a_{12}b_{21}c_{12}+a_{11}b_{12}c_{22}+a_{12}b_{22}c_{22}\\ a_{21}b_{11}c_{11}+a_{22}b_{21}c_{11}+a_{21}b_{12}c_{21}+a_{22}b_{22}c_{21} & a_{21}b_{11}c_{12}+a_{22}b_{21}c_{12}+a_{21}b_{12}c_{22}+a_{22}b_{22}c_{22} \end{pmatrix}, \end{align*} y el mismo resultado se obtiene al hacer \begin{align*} A(BC)&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}c_{11}+b_{12}c_{21}&b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22}\\ b_{21}c_{11}+b_{22}c_{21}&b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22} \end{pmatrix}. \end{align*}
• Elemento neutro. Consideremos la matriz identidad \[ I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \] Entonces, \begin{align*} AI&=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11}\cdot 1 + a_{12}\cdot 0 & a_{11}\cdot 0 + a_{12}\cdot 1\\ a_{21}\cdot 1 + a_{22}\cdot 0 & a_{21}\cdot 0 + a_{22}\cdot 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}=A, \end{align*} y análogamente se comprueba que $IA=A$. Por tanto, $I$ es el elemento neutro del producto.
• Distributiva respecto de la suma. Tenemos \begin{align*} A(B+C)&=A\begin{pmatrix} b_{11}+c_{11}&b_{12}+c_{12}\\ b_{21}+c_{21}&b_{22}+c_{22} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{11}(b_{11}+c_{11})+a_{12}(b_{21}+c_{21}) & a_{11}(b_{12}+c_{12})+a_{12}(b_{22}+c_{22})\\ a_{21}(b_{11}+c_{11})+a_{22}(b_{21}+c_{21}) & a_{21}(b_{12}+c_{12})+a_{22}(b_{22}+c_{22}) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{11}c_{11}+a_{12}c_{21} & a_{11}c_{12}+a_{12}c_{22}\\ a_{21}c_{11}+a_{22}c_{21} & a_{21}c_{12}+a_{22}c_{22} \end{pmatrix}\\ &=AB+AC. \end{align*} De forma análoga se comprueba que $(B+C)A=BA+CA$, por lo que el producto es distributivo respecto de la suma.

Veamos ahora qué matrices son invertibles para responder al apartado (b), suponiendo ahora que $\mathbb{K}$ es conmutativo. Supongamos que \[ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\in M. \] es invertible, es decir, que existe \[ B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix} \] tal que $AB=I$. Entonces \begin{align*} AB&=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \end{align*} Por tanto, se verifica el sistema \[ \begin{cases} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=1,\\ a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}=0,\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}=0,\\ a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}=1. \end{cases} \] Multiplicando la primera ecuación por $a_{22}$ y la tercera por $a_{12}$, y restando, obtenemos \[ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})b_{11}=a_{22}. \] Análogamente, multiplicando la primera por $a_{21}$ y la tercera por $a_{11}$, se obtiene \[ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})b_{21}=-a_{21}. \] Si ocurriera que $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$, entonces $a_{21}=a_{22}=0$ y la cuarta ecuación nos diría que $0=1$ (contradicción).

Recíprocamente, si $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$, consideramos \[ A^{-1}=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{pmatrix}. \] Entonces, \begin{align*} A A^{-1} &=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11} \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \begin{pmatrix} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} & -a_{11}a_{12}+a_{12}a_{11}\\ a_{21}a_{22}-a_{22}a_{21} & -a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \end{align*} Análogamente se comprueba que $A^{-1}A=I$. Hemos concluido así la demostración de que $A$ es invertible si y solo si $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$.

Para responder finalmente al apartado (c), consideremos ahora el subconjunto \[ \mathcal G=\{A\in M: A \text{ es invertible}\}. \] y veamos que es un grupo multiplicativo, para lo que tendremos que comprobar cuatro propiedades.

• Cerrado. Dadas $A,B\in \mathcal G$, existen sus inversas $A^{-1}$ y $B^{-1}$, luego \[ (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I, \] y análogamente $(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$. Por tanto, $AB\in\mathcal G$ es invertible y $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
• Asociativa. La operación es asociativa porque lo es el producto de matrices en $M$ como hemos visto anteriormente.
• Elemento neutro. La matriz identidad $I$ es invertible ya que se comprueba fácilmente que $I^{-1}=I$; como es elemento neutro del producto en $M$, también lo será en $\mathcal G$.
• Elemento inverso. Si $A\in\mathcal G$, por definición existe $A^{-1}\in M$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$. Por tanto, $A^{-1}\in \mathcal G$ con $(A^{-1})^{-1}=A$.

Solución. Sabiendo que $\cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)=1$ y $\cos^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)=\cos(2x)$, podemos despejar \[\cos^2(x)=\tfrac{1}{2}(1+\cos(2x)),\qquad \mathrm{sen}^2(x)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2x)).\] Sustituyendo en el enunciado y simplificando, obtenemos la siguiente ecuación equivalente: \[-3\cos(2x)+\mathrm{sen}(2x)=1.\] Consideremos ahora un ángulo $\theta=\arccos(\frac{-3}{\sqrt{10}})$, que está en el segundo cuadrante y cumple que $\cos(\theta)=\frac{-3}{\sqrt{10}}$ y $\mathrm{sen}(\theta)=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Si dividimos la ecuación anterior por $\sqrt{10}$, podemos reescribirla como \[\cos(\theta-2x)=\cos(\theta)\cos(2x)+\mathrm{sen}(\theta)\mathrm{sen}(2x)=\tfrac{1}{\sqrt{10}}=\cos(90-\theta).\] Si tenemos en cuenta ahora que una ecuación $\cos(a)=\cos(b)$ implica que $a=\pm b+360k$, obtenemos las soluciones \begin{align*} \theta-2x=90-\theta+360k&\ \Longleftrightarrow\ x=-45+\arccos(\tfrac{-3}{\sqrt{10}})+180k,\\ \theta-2x=-90+\theta+360k&\ \Longleftrightarrow\ x=45+180k. \end{align*} Esto nos da exactamente dos soluciones ($x=45$ y $x=-45+\arccos(\tfrac{-3}{\sqrt{10}})$) en el intervalo $[0,180]$, que se van repitiendo periódicamente con período $180$.

Solución.

1. A cada rama se le puede asignar una bifurcación (de la que sale dicha rama) y siempre hay exactamente dos ramas que comparten dicha bifurcación, luego el número total de ramas es $2n$.
2. Cuando a una planta le añadimos una bifurcación como indica la sugerencia, el número de yemas aumenta en una unidad (una yema pasa a una bifurcación que da lugar a dos nuevas yemas). Como una planta con 1 bifurcación tiene solo 2 yemas, una planta con $n$ bifurcaciones tendrá $n+1$ yemas.
3. Para una yema que fijemos, su alejamiento es el número de bifurcaciones que atraviesa, que no es más que el número de ramas que atraviesa. Por lo tanto, cuando sumamos todos los alejamientos estamos sumando una unidad por cada rama que atraviesa cada yema, y por tanto obtenemos la suma de las cargas de todas las ramas.