Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar el mayor valor de $n$ para el que existe una sucesión $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ de números naturales, todos ellos menores que $1998$ y de forma que $x_i=|x_{i-1}-x_{i-2}|$ para todo $3\leq i\leq n$.

1. Demostrar que, para todo $x,y\geq 0$, se cumple la desigualdad \[\lfloor 5x\rfloor+\lfloor 5y\rfloor\geq \lfloor 3x+y\rfloor 3y+x\rfloor.\]
2. Usando (a) o mediante otro método, probar que \[\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}\] es un número entero para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$.

Nota: $\lfloor u\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $u$.

Hallar todas las raíces, reales o complejas, del sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2=3\\x^3+y^3+z^3=3 \end{array}\right\}\]

Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Una función $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ se llama acuaesuliana si se satisface la siguiente propiedad: para cada $x,y\in \mathbb{Q}$, \[f(x + f(y)) = f(x) + y\quad \text{o bien}\quad f(f(x) + y) = x + f(y).\] Demostrar que existe un entero $c$ tal que para toda función acuaesuliana $f$ hay a lo más $c$ números racionales distintos de la forma $f(r)+f(−r)$ para algún número racional r, y encontrar el menor valor posible de $c$.

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que, para cada $x\in\mathbb{R}^+$, existe exactamente un $y\in\mathbb{R}^+$ que satisface \[xf(y)+yf(x)\leq 2.\]