Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Una función $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ se llama acuaesuliana si se satisface la siguiente propiedad: para cada $x,y\in \mathbb{Q}$, \[f(x + f(y)) = f(x) + y\quad \text{o bien}\quad f(f(x) + y) = x + f(y).\] Demostrar que existe un entero $c$ tal que para toda función acuaesuliana $f$ hay a lo más $c$ números racionales distintos de la forma $f(r)+f(−r)$ para algún número racional r, y encontrar el menor valor posible de $c$.

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que, para cada $x\in\mathbb{R}^+$, existe exactamente un $y\in\mathbb{R}^+$ que satisface \[xf(y)+yf(x)\leq 2.\]

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que

• $f(x)$ es estrictamente creciente,
• $f(x)+g(x)=2x$ para todo $x\in\mathbb{R}$,

donde $g(x)$ es la inversa de $f(x)$, es decir, $f(g(x))=g(f(x))=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

Hallar todos los conjuntos de cuatro números reales $x_1,x_2,x_3,x_4$ tales que la suma de cualquiera de ellos y el producto de los otros tres es igual a $2$.

Consideremos el sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0 \end{array}\right\},\] donde $x_1,x_2,x_3$ son las incógnitas. Se cumplen además las siguientes condiciones:

• Los coeficientes $a_{11},a_{22},a_{33}$ son números reales positivos.
• El resto de coeficientes son números reales negativos.
• La suma de los coeficientes de cada ecuación es positiva.

Demostrar que el sistema tiene únicamente la solución trivial $x_1=x_2=x_3=0$.