Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Las velocidades de un submarino sumergido y en superficie son, respectivamente, $v$ y $kv$. El submarino está situado en un punto $P$ a 30 millas del centro $O$ de un círculo de radio $60$ millas. La vigilancia de una escuadra enemiga le obliga a navegar sumergido mientras está dentro del círculo. Discutir, según los valores de $k$, el camino más rápido para trasladarse al extremo opuesto del diámetro que pasa por $P$. Discutir el caso particular $k =\sqrt{5}$.

Demostrar que, cualquiera que sea el número complejo $z$, se cumple que \[\left(1+z^{2^n}\right)\left(1-z^{2^n}\right)=1-z^{2^{n+1}}.\] Escribiendo las igualdades que resultan al dar a $n$ valores enteros no negativos y multiplicándolas, demostrar que, para $|z|\lt 1$ se cumple que \[\frac{1}{1-z}=\lim_{k\to\infty}(1+z)(1+z^2)(1+z^4)\cdots(1+z^{2^k}\,).\]

En una cierta geometría operamos con dos tipos de elementos, puntos y rectas, relacionados entre sí por los axiomas siguientes:

• I. Dados dos puntos $A$ y $B$, existe una única recta $(AB)$ que pasa por ambos.
• II. Sobre una recta existen al menos dos puntos. Existen tres puntos que no están situados sobre una misma recta.
• III. Cuando un punto $B$ está situado entre $A$ y $C$, entonces $B$ está también entre $C$ y $A$. ($A,B,C$ son tres puntos diferentes de una recta.)
• IV. Dados dos puntos $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$ en la recta $(AC)$ de forma que $C$ está entre $A$ y $B$.
• V. De entre tres puntos situados sobre una misma recta, uno, como máximo, está entre los otros dos.
• VI. Si $A,B,C$ son tres puntos no situados sobre la misma recta y $r$ es una recta que no contiene ninguno de los tres, cuando la recta $r$ pasa por un punto del segmento $[AB]$, entonces pasa por uno del $[BC]$ o pasa por uno del $[AC]$. (Designamos por $[AB]$ al conjunto de puntos que están entre $A$ y $B$).

A partir de los axiomas anteriores, demostrar las proposiciones siguientes:

1. Teorema 1. Entre dos puntos cualesquiera $A$ y $C$ existe al menos un punto $B$.
2. Teorema 2. De entre tres puntos situados sobre una recta, uno está siempre entre los otros dos.

Calcular la suma \[\sum_{k=5}^{49}\frac{11_{(k)}}{2\sqrt[3]{1331_{(k)}}},\] donde el subíndice indica que los números $11$ y $1331$ están escritos en base $k$.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ constantes reales y definamos la función \[f(x)=\sum_{k=1}^n\frac{\cos(a_k+x)}{2^{k-1}}.\] Demostrar que si $f(x_1)=f(x_2)=0$, entonces $x_2-x_1$ es un múltiplo entero de $\pi$.