Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que

• $f(x)$ es estrictamente creciente,
• $f(x)+g(x)=2x$ para todo $x\in\mathbb{R}$,

donde $g(x)$ es la inversa de $f(x)$, es decir, $f(g(x))=g(f(x))=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

Hallar todos los conjuntos de cuatro números reales $x_1,x_2,x_3,x_4$ tales que la suma de cualquiera de ellos y el producto de los otros tres es igual a $2$.

Consideremos el sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0 \end{array}\right\},\] donde $x_1,x_2,x_3$ son las incógnitas. Se cumplen además las siguientes condiciones:

• Los coeficientes $a_{11},a_{22},a_{33}$ son números reales positivos.
• El resto de coeficientes son números reales negativos.
• La suma de los coeficientes de cada ecuación es positiva.

Demostrar que el sistema tiene únicamente la solución trivial $x_1=x_2=x_3=0$.

Demostrar la identidad \[\cos\tfrac{\pi}{7}-\cos\tfrac{2\pi}{7}+\cos\tfrac{3\pi}{7}=\tfrac{1}{2}.\]

Encontrar todas las soluciones $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ al sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r} x_5+x_2=yx_1\\x_1+x_3=yx_2\\x_2+x_4=yx_3\\x_3+x_5=yx_4\\x_4+x_1=yx_5\end{array}\right\}\] siendo $y$ un parámetro real.