Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si nos fijamos en que \[1331_{(k)}=k^3+3k^2+3k+1=(k+1)^3\] es siempre un cubo perfecto en cualquier base (se presupone $k\geq 4$ para que el número esté escrito correctamente), tenemos que \[\sum_{k=5}^{49}\frac{11_{(k)}}{2\sqrt[3]{1331_{(k)}}}=\sum_{k=5}^{49}\frac{k+1}{2\sqrt[3]{(k+1)^3}}=\sum_{k=5}^{49}\frac{1}{2}=\frac{45}{2},\] ya que hay $45$ sumandos desde $k=5$ hasta $k=49$, todos ellos iguales a $\frac{1}{2}$.

Solución. Que estén alineados quiere decir que existe un número real $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $z-i=\lambda(i-iz)$. De esta ecuación puede despejarse fácilmente \[z=\frac{i(\lambda+1)}{1+\lambda i}=\frac{i(\lambda+1)(1-\lambda i)}{1+\lambda^2}=\frac{\lambda(1+\lambda)}{1+\lambda^2}+\frac{\lambda+1}{1+\lambda^2}i,\] luego el problema se reduce a entender qué representan esos números complejos al variar $\lambda\in\mathbb{R}$. Si llamamos $x=\frac{\lambda(1+\lambda)}{1+\lambda^2}$ a la parte real e $y=\frac{\lambda+1}{1+\lambda^2}$ a la parte imaginaria, tenemos que \[x^2+y^2=\frac{\lambda^2(1+\lambda)^2}{(1+\lambda^2)^2}+\frac{(1+\lambda)^2}{(1+\lambda^2)^2}=\frac{(1+\lambda)^2}{1+\lambda^2}=x+y,\] que puede reescribirse como \[(x-\tfrac{1}{2})^2+(y-\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{1}{2}.\] Esto nos dice que los puntos del enunciado están contenidos en la circunferencia de centro $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$ y radio $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Al variar $\lambda\in\mathbb{R}$ es fácil ver que las funciones $(x,y)$ recorren todos los puntos de la circunferencia excepto el $(1,0)$. Este hay que incluirlo también ya que se corresponde con el límite $\lambda=\pm\infty$ y se puede obtener para $\lambda=0$ cuando cambiamos la relación $z-i=\lambda(i-iz)$ por $\lambda(z-i)=i-iz$.

Nota. En realidad la condición de alineación debería escribirse rigurosamente como $\lambda(z-i)=\mu(i-iz)$ para ciertos números reales $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, que refleja el hecho de que, como vectores, $z-i$ e $i-iz$ son proporcionales.