Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Que estén alineados quiere decir que existe un número real $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $z-i=\lambda(i-iz)$. De esta ecuación puede despejarse fácilmente \[z=\frac{i(\lambda+1)}{1+\lambda i}=\frac{i(\lambda+1)(1-\lambda i)}{1+\lambda^2}=\frac{\lambda(1+\lambda)}{1+\lambda^2}+\frac{\lambda+1}{1+\lambda^2}i,\] luego el problema se reduce a entender qué representan esos números complejos al variar $\lambda\in\mathbb{R}$. Si llamamos $x=\frac{\lambda(1+\lambda)}{1+\lambda^2}$ a la parte real e $y=\frac{\lambda+1}{1+\lambda^2}$ a la parte imaginaria, tenemos que \[x^2+y^2=\frac{\lambda^2(1+\lambda)^2}{(1+\lambda^2)^2}+\frac{(1+\lambda)^2}{(1+\lambda^2)^2}=\frac{(1+\lambda)^2}{1+\lambda^2}=x+y,\] que puede reescribirse como \[(x-\tfrac{1}{2})^2+(y-\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{1}{2}.\] Esto nos dice que los puntos del enunciado están contenidos en la circunferencia de centro $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$ y radio $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Al variar $\lambda\in\mathbb{R}$ es fácil ver que las funciones $(x,y)$ recorren todos los puntos de la circunferencia excepto el $(1,0)$. Este hay que incluirlo también ya que se corresponde con el límite $\lambda=\pm\infty$ y se puede obtener para $\lambda=0$ cuando cambiamos la relación $z-i=\lambda(i-iz)$ por $\lambda(z-i)=i-iz$.

Nota. En realidad la condición de alineación debería escribirse rigurosamente como $\lambda(z-i)=\mu(i-iz)$ para ciertos números reales $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, que refleja el hecho de que, como vectores, $z-i$ e $i-iz$ son proporcionales.

Solución. Sabemos que una función es continua en $x=0$ si para todo $\varepsilon\gt 0$, existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(0)|\lt\varepsilon$ siempre que $|x|\lt\delta$. Con esta definición analizaremos los tres casos por separado:

1. Supongamos por reducción al absurdo que $f$ es continua. Para $\epsilon=\frac{1}{2}$ deberá existir $\delta\gt 0$ tal que $|f(x)-f(0)|\lt\frac{1}{2}$ siempre que $|x|\lt\delta$. Sin embargo, existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $|\frac{1}{2n}|=|\frac{-1}{2n}|\lt\delta$, luego tiene que ser $|f(\frac{1}{2n})-f(0)|\lt\frac{1}{2}$ y $|f(\frac{-1}{2n})-f(0)|\lt\frac{1}{2}$. Como $f(\frac{1}{2n})=1$ y $f(\frac{-1}{2n})=-1$, tendremos que $f(0)$ está a distancia menor que $\frac{1}{2}$ tanto de $1$ como de $-1$, lo cual es imposible por la desigualdad triangular.
2. En este caso, la función sí que es continua ya que para cada $\varepsilon >0$ puede tomarse directamente $\delta=\sqrt{\epsilon}$ en la definición de continuidad.
3. En este caso no puede decidirse. Si, por ejemplo, fuera $f(x)=1$ para todo $x\in\mathbb{R}$, la función sería continua por ser constante. Si, por el contrario, fuera $f(x)=-1$ para todo $x\neq\frac{1}{n}$, la función no sería continua por el mismo motivo que en el apartado (a).