Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función tal que, para cierta constante real $a$, cumple que \[f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f(x)^2}\] para cualquier $x\in\mathbb{R}$.

1. Probar que la función $f$ es periódica.
2. Para $a=1$, dar un ejemplo de función $f$ no constante cumpliendo esta propiedad.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r} ax_1^2+bx_1+c=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c=x_3\\ ax_3^2+bx_3+c=x_4\\ \vdots\\ ax_n^2+bx_n+c=x_1 \end{array}\right\},\] donde $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son las incógnitas y $a,b,c$ son números reales con $a\neq 0$. Sea $\Delta=(b-1)^2-4ac$. Demostrar las siguientes afirmaciones:

1. Si $\Delta\lt 0$, el sistema no tiene soluciones.
2. Si $\Delta=0$, el sistema tiene exactamente una solución.
3. Si $\Delta\gt 0$, el sistema tiene más de una solución.

Razonar si puede afirmarse, negarse o no puede decidirse la continuidad en el punto $x = 0$ de una función real $f(x)$ de variable real, en cada uno de los tres casos (independientes):

1. Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{2n})=1$ y $f(\tfrac{-1}{2n})=-1$ para todo $n$ natural.
2. Se sabe que $f(x)=x^2$ para $x$ real no negativo y $f(x)=0$ para $x$ real negativo.
3. Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{n})=1$ para todo $n$ natural.

En una noche la temperatura del aire se mantuvo constante, varios grados bajo cero, y la del agua de un estanque cilíndrico muy extenso, que formaba una capa de 10 cm de profundidad, llegó a ser de cero grados, comenzando entonces a formarse una capa de hielo en la superficie. En estas condiciones puede admitirse que el espesor de la capa de hielo formada es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. A las 0:00h, el espesor del hielo era de $3$cm y a las 4:00h justamente se acabó de helar el agua del estanque. Calcular a qué hora comenzó a formarse la capa de hielo, sabiendo que la densidad del hielo formado era de $0.9$.

Para obtener el valor de un polinomio de grado $n$, cuyos coeficientes son $a_0,a_1,\ldots,a_n$ (comenzando por el término de grado más alto), cuando a la variable $x$ se le da el valor $b$, se puede aplicar el proceso indicado en el organigrama adjunto, que desarrolla las acciones requeridas para aplicar la regla de Ruffini. Se pide construir otro organigrama análogo que permita expresar el cálculo del valor de la derivada del polinomio dado, también para $x=b$.