Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Resolver el sistema de ecuaciones \[\left.\begin{array}{r}x+y+z=a\\x^2+y^2+z^2=b^2\\xy=z^2\end{array}\right\}\] en términos de los parámetros reales $a$ y $b$. Determinar para qué valores de $a$ y $b$ las soluciones $x,y,z$ son números positivos distintos.

Sean $a,b,c\in\mathbb{R}$ números reales y consideremos la ecuación cuadrática con incógnita $\cos x$: \[a\cos^2 x + b\cos x + c = 0.\] Formar una ecuación cuadrática con incógnita $\cos 2x$ cuyas raíces sean las mismas que la de la ecuación original. Comparar dichas ecuaciones en $\cos x$ y $\cos 2x$ para $a=4$, $b=2$ y $c=-1$.

Un alienígena se mueve sobre la superficie de un planeta con velocidad variable que no supera una velocidad límite $u$. Una nave espacial busca al alienígena con velocidad $v\gt 10u$. Demostrar que siempre puede encontrar al alienígena.

Un avión espía vuela a lo largo de la circunferencia de centro $A$ y radio 10km con velocidad constante 1000km/h. Se lanza un misil desde $A$ a la misma velocidad con el objetivo de impactar en el avión. Si el misil está programado para estar siempre en el segmento que une $A$ y el avión, ¿cuánto tiempo pasa entre el lanzamiento y el impacto?

Tenemos $n^2$ números reales $x_{ij}\in\mathbb{R}$ con $1\leq i,j\leq n$ que cumplen \[x_{ij}+x_{jk}+x_{ki}=0,\qquad 1\leq i,j,k\leq n.\] Demostrar que existen $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ tales que $x_{ij}=a_i-a_j$ para $1\leq i,j\leq n$.