Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2764 problemas y 1057 soluciones.
Problema 1448problema obsoleto
Razonar si puede afirmarse, negarse o no puede decidirse la continuidad en el punto $x = 0$ de una función real $f(x)$ de variable real, en cada uno de los tres casos (independientes):
- Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{2n})=1$ y $f(\tfrac{-1}{2n})=-1$ para todo $n$ natural.
- Se sabe que $f(x)=x^2$ para $x$ real no negativo y $f(x)=0$ para $x$ real negativo.
- Se sabe únicamente que $f(\tfrac{1}{n})=1$ para todo $n$ natural.
pistasolución 1info
Pista. Razonar con la definición de continuidad: una función es continua en $x=a$ si para todo $\varepsilon\gt 0$, existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(a)|\lt\varepsilon$ siempre que $|x-a|\lt\delta$.
Solución. Sabemos que una función es continua en $x=0$ si para todo $\varepsilon\gt 0$, existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(0)|\lt\varepsilon$ siempre que $|x|\lt\delta$. Con esta definición analizaremos los tres casos por separado:
- Supongamos por reducción al absurdo que $f$ es continua. Para $\epsilon=\frac{1}{2}$ deberá existir $\delta\gt 0$ tal que $|f(x)-f(0)|\lt\frac{1}{2}$ siempre que $|x|\lt\delta$. Sin embargo, existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $|\frac{1}{2n}|=|\frac{-1}{2n}|\lt\delta$, luego tiene que ser $|f(\frac{1}{2n})-f(0)|\lt\frac{1}{2}$ y $|f(\frac{-1}{2n})-f(0)|\lt\frac{1}{2}$. Como $f(\frac{1}{2n})=1$ y $f(\frac{-1}{2n})=-1$, tendremos que $f(0)$ está a distancia menor que $\frac{1}{2}$ tanto de $1$ como de $-1$, lo cual es imposible por la desigualdad triangular.
- En este caso, la función sí que es continua ya que para cada $\varepsilon >0$ puede tomarse directamente $\delta=\sqrt{\epsilon}$ en la definición de continuidad.
- En este caso no puede decidirse. Si, por ejemplo, fuera $f(x)=1$ para todo $x\in\mathbb{R}$, la función sería continua por ser constante. Si, por el contrario, fuera $f(x)=-1$ para todo $x\neq\frac{1}{n}$, la función no sería continua por el mismo motivo que en el apartado (a).
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Problema 1447problema obsoleto
En una noche la temperatura del aire se mantuvo constante, varios grados bajo cero, y la del agua de un estanque cilíndrico muy extenso, que formaba una capa de 10 cm de profundidad, llegó a ser de cero grados, comenzando entonces a formarse una capa de hielo en la superficie. En estas condiciones puede admitirse que el espesor de la capa de hielo formada es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. A las 0:00h, el espesor del hielo era de $3$cm y a las 4:00h justamente se acabó de helar el agua del estanque. Calcular a qué hora comenzó a formarse la capa de hielo, sabiendo que la densidad del hielo formado era de $0.9$.
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Problema 1446
Para obtener el valor de un polinomio de grado $n$, cuyos coeficientes son
$a_0,a_1,\ldots,a_n$ (comenzando por el término de grado más alto), cuando a la variable $x$ se le da el valor $b$, se puede aplicar el proceso indicado en el organigrama adjunto, que desarrolla las acciones requeridas para aplicar la regla de Ruffini. Se pide construir otro organigrama análogo que permita expresar el cálculo del valor de la derivada del polinomio dado, también para $x=b$.
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Problema 1445
Por una carretera circula una caravana de coches, todos a la misma velocidad, manteniendo la separación mínima entre uno y otro dada, en metros, por $v^2/100$, donde $v$ es la velocidad expresada en km/h. Suponiendo que la longitud de cada coche es de $2.89$m, calcular la velocidad a la que deben circular para que la capacidad de tráfico resulte máxima, es decir, para que en un tiempo fijado pasen el máximo número de vehículos por un punto de la carretera.
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Problema 1442
Se tiene un botella de fondo plano y circular, cerrada y llena parcialmente de vino, de modo que su nivel no supere la parte cilíndrica. Discutir en qué casos se puede calcular la capacidad de la botella sin abrirla, disponiendo solamente de un doble decímetro graduado; en caso de que sea posible, describir cómo se calcularía. (Problema de la Gara Matematica italiana)
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