Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sabemos que una función es continua en $x=0$ si para todo $\varepsilon\gt 0$, existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(0)|\lt\varepsilon$ siempre que $|x|\lt\delta$. Con esta definición analizaremos los tres casos por separado:

1. Supongamos por reducción al absurdo que $f$ es continua. Para $\epsilon=\frac{1}{2}$ deberá existir $\delta\gt 0$ tal que $|f(x)-f(0)|\lt\frac{1}{2}$ siempre que $|x|\lt\delta$. Sin embargo, existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $|\frac{1}{2n}|=|\frac{-1}{2n}|\lt\delta$, luego tiene que ser $|f(\frac{1}{2n})-f(0)|\lt\frac{1}{2}$ y $|f(\frac{-1}{2n})-f(0)|\lt\frac{1}{2}$. Como $f(\frac{1}{2n})=1$ y $f(\frac{-1}{2n})=-1$, tendremos que $f(0)$ está a distancia menor que $\frac{1}{2}$ tanto de $1$ como de $-1$, lo cual es imposible por la desigualdad triangular.
2. En este caso, la función sí que es continua ya que para cada $\varepsilon >0$ puede tomarse directamente $\delta=\sqrt{\epsilon}$ en la definición de continuidad.
3. En este caso no puede decidirse. Si, por ejemplo, fuera $f(x)=1$ para todo $x\in\mathbb{R}$, la función sería continua por ser constante. Si, por el contrario, fuera $f(x)=-1$ para todo $x\neq\frac{1}{n}$, la función no sería continua por el mismo motivo que en el apartado (a).

Solución. El peso del agua se conserva al congelarse pero disminuye su densidad, con lo que aumenta el volumen, dividiéndose por $0,\!9$. Como la superficie se mantiene constante, esto se traduce en que la altura del agua (o profundidad del estanque) una vez congelado es $10/0,\!9=\frac{100}{9}$ cm. Por lo tanto, si asumimos como nos dice el enunciado que el grosor de la capa de hielo viene dado por la función $g(t)=a\sqrt{t-t_0}$, siendo $a$ la constante de proporcionalidad y $t_0$ el tiempo (en horas respecto de la medianoche) en que empieza a helarse, podemos escribir $g(0)=3$ y $g(4)=\frac{100}{9}$.

Elevando al cuadrado para eliminar las raíces, estas condiciones se traducen en \[a^2(-t_0)=9,\qquad a^2(4-t_0)=\frac{10000}{81}.\] Dividiendo ambas ecuaciones para eliminar $a^2$, tenemos que \[\frac{t_0-4}{t_0}=\frac{10000}{729}\ \Leftrightarrow\ 243t_0-972=10000t_0\ \Leftrightarrow\ t_0=\frac{-2916}{9757}\approx-0.314529.\] Concluimos que el agua comenzó a helarse aproximadamente $0.314529$ horas antes de la medianoche.

Solución. Esto es una forma de diagramar el siguiente código de programación en C:

  A = a[0];
  for (i = 1; i <= n; i++){
    P = A*b;
    A = P+a[i];
  }
  return A;

Podríamos incluso mejorarlo un poco haciendo directamente A=A*b+a[i] pero esto es muy informático ya que en matemáticas no se puede usar el operador = como asignación. Para calcular la derivada, tenemos que cambiar a[i] por (n-i)*a[i] ya que los coeficientes están ordenados en orden inverso y $a_i$ es el coeficiente de $x^{n-i}$:

  A = n*a[0];
  for (i = 1; i <= n; i++){
    P = A*b;
    A = P + (n-i)*a[i];
  }
  return A;

Por lo tanto, el organigrama es como en la figura.

Solución. Un coche junto con su separación con el siguiente ocupan $\frac{v^2}{100}+2,\!89$ m. Como van a una velocidad de $v$ km/h, que son $1000v$ m/h y el tiempo es igual al espacio dividido entre velocidad, todo el paquete coche-espacio tarda en pasar un tiempo en horas \[t(v)=\frac{\frac{v^2}{100}+2,\!89}{1000v}.\] Maximizar el número de vehículos equivale a minimizar $t(v)$ para $v\gt 0$. Multiplicando por $10^5$, esto a su vez equivale a minimizar \[f(v)=v+\frac{289}{v}.\] Esta función es derivable en $(0,+\infty)$ y tiene derivada \[f'(v)=1-\frac{289}{v^2},\] que sea anula únicamente en $v=\sqrt{289}=17$. La derivada es negativa hasta este valor y luego positiva, luego se trata del mínimo absoluto en $(0,+\infty)$. Deducimos así que la velocidad óptima es $17$ km/h.

Solución. Este es un problema de ingenio. En principio, podemos calcular la altura $h_v$ del cilindro que forma el vino (siempre que el doble decímetro la abarque). Al darle la vuelta y poner la botella en vertical con el cuello hacia abajo, el aire formará un cilindro del que también podemos medir su altura $h_a$. Entonces, el volumen es la suma de los volúmenes de los dos cilindros $\pi r^2(h_a+h_v)$, donde nos queda por calcular $r$, el radio del cilindro.

Para ello, ponemos el doble decímetro sobre la base de la botella y marcamos los puntos $A,B,C,D$ en los que los lados del decímetro cortan a la circunferencia, siendo $AB$ y $CD$ cuerdas paralelas de la circunferencia. Podemos marcar los puntos medios de $AB$ y $CD$ (midiendo) y luego trazamos la recta que los une, que será un diámetro de la circunferencia. Teniendo este diámetro, lo dividimos entre $2$ para obtener el radio.

Con este método, se puede calcular el volumen siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

• al voltear la botella el nivel del vino queda en la parte cilíndrica,
• la altura del vino y del aire no excede los $20$ cm que permite medir el doble decímetro,
• el ancho del doble decímetro es menor que el diámetro de la base de la botella.