Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En una noche la temperatura del aire se mantuvo constante, varios grados bajo cero, y la del agua de un estanque cilíndrico muy extenso, que formaba una capa de 10 cm de profundidad, llegó a ser de cero grados, comenzando entonces a formarse una capa de hielo en la superficie. En estas condiciones puede admitirse que el espesor de la capa de hielo formada es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. A las 0:00h, el espesor del hielo era de $3$cm y a las 4:00h justamente se acabó de helar el agua del estanque. Calcular a qué hora comenzó a formarse la capa de hielo, sabiendo que la densidad del hielo formado era de $0.9$.

Para obtener el valor de un polinomio de grado $n$, cuyos coeficientes son $a_0,a_1,\ldots,a_n$ (comenzando por el término de grado más alto), cuando a la variable $x$ se le da el valor $b$, se puede aplicar el proceso indicado en el organigrama adjunto, que desarrolla las acciones requeridas para aplicar la regla de Ruffini. Se pide construir otro organigrama análogo que permita expresar el cálculo del valor de la derivada del polinomio dado, también para $x=b$.

Por una carretera circula una caravana de coches, todos a la misma velocidad, manteniendo la separación mínima entre uno y otro dada, en metros, por $v^2/100$, donde $v$ es la velocidad expresada en km/h. Suponiendo que la longitud de cada coche es de $2.89$m, calcular la velocidad a la que deben circular para que la capacidad de tráfico resulte máxima, es decir, para que en un tiempo fijado pasen el máximo número de vehículos por un punto de la carretera.

Se tiene un botella de fondo plano y circular, cerrada y llena parcialmente de vino, de modo que su nivel no supere la parte cilíndrica. Discutir en qué casos se puede calcular la capacidad de la botella sin abrirla, disponiendo solamente de un doble decímetro graduado; en caso de que sea posible, describir cómo se calcularía. (Problema de la Gara Matematica italiana)

Un semáforo instalado en un cruce principal de una vía en la que se circula en ambos sentidos permanece en rojo $30$s y en verde otros $30$s, alternativamente. Se desea instalar otro semáforo en la misma vía, para un cruce secundario situado a $400$m de distancia del primero, que funcione con el mismo período de 1 min de duración. Se quiere que los coches que circulan a $60$km/h por la vía en cualquiera de los dos sentidos y que no se tienen que parar si sólo hubiese el semáforo del cruce principal tampoco se tengan que parar después de instalar el del cruce secundario. ¿Cuántos segundos puede estar encendido el rojo en el semáforo secundario?