Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un alienígena se mueve sobre la superficie de un planeta con velocidad variable que no supera una velocidad límite $u$. Una nave espacial busca al alienígena con velocidad $v\gt 10u$. Demostrar que siempre puede encontrar al alienígena.

Un avión espía vuela a lo largo de la circunferencia de centro $A$ y radio 10km con velocidad constante 1000km/h. Se lanza un misil desde $A$ a la misma velocidad con el objetivo de impactar en el avión. Si el misil está programado para estar siempre en el segmento que une $A$ y el avión, ¿cuánto tiempo pasa entre el lanzamiento y el impacto?

Tenemos $n^2$ números reales $x_{ij}\in\mathbb{R}$ con $1\leq i,j\leq n$ que cumplen \[x_{ij}+x_{jk}+x_{ki}=0,\qquad 1\leq i,j,k\leq n.\] Demostrar que existen $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ tales que $x_{ij}=a_i-a_j$ para $1\leq i,j\leq n$.

El rayo de luz de un faro ilumina un segmento de longitud fija $\ell$ que parte del propio faro. Supongamos que dicho rayo rota de forma tal que su extremo se mueve con velocidad constante $v$. Demostrar que un barco que se mueve a velocidad $v/8$ no puede alcanzar la base del faro sin haber sido iluminado en algún momento.

Hallar todos los valores enteros $x,y$ que verifican \[y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{\ldots \sqrt{x+\sqrt{x}}}}}},\] suponiendo que en la expresión anterior hay exactamente $1998$ raíces cuadradas.