Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos que la función $g(x)=2x-x^2=1-(x-1)^2$ toma el valor $-8$ en $x=-2$ y $x=4$, pero no toma el valor $8$ ya que tiene su máximo en $x=1$, donde vale $1$. Además, en $[-2,1]$ es creciente y en $[1,4]$ es decreciente. Por lo tanto:

• Fuera del intervalo $(-2,4)$ no sabemos la monotonía de $f(g(x))$ ya que desconocemos lo que le pasa a $f$ fuera del intervalo $[-8,8]$.
• Para $x,y\in[-2,1]$ con $x\lt y$, se tiene que $-8\leq g(x)\leq g(y)\leq 1$, luego $f(g(x))\leq f(g(y))$ y hemos probado que $f(g(x))$ es monótona creciente en $[-2,1]$.
• Para $x,y\in[1,4]$ con $x\lt y$, se tiene que $-8\leq g(y)\leq g(x)\leq 1$, luego $f(g(y))\leq f(g(x))$ y tenemos que $f(g(x))$ es monótona decreciente en $[1,4]$.

Por lo tanto, solo podemos asegurar que $f(2x-x^2)$ es monótona creciente en $[-2,1]$.

Solución. Consideremos $f(x)=ax^3+bx^2+c$. La ecuación de la recta tangente en $x=3$ es \[y=f(3)+f'(3)(x-3)=\frac{1}{4}(x+1),\] luego por comparación de coeficientes, tenemos que $f'(3)=\frac{1}{4}$ y $f(3)-3f'(3)=\frac{1}{4}$, de donde deducimos que $f(3)=1$. Finalmente, el punto de inflexión nos da $f''(3)=0$. Ahora podemos usar que el polinomio puede expresarse como suma de potencias de $x-3$ de forma que \begin{align*} f(x)&=f(3)+f'(3)(x-3)+\frac{f''(3)}{2}(x-3)^2+\frac{f'''(3)}{6}(x-3)^3 \\ &=1+\frac{1}{4}(x-3)+\frac{f'''(3)}{6}(x-3)^3 \end{align*} Como quiera que $f(0)=0$, tenemos que $0=\frac{1}{4}-\frac{9}{2}f'''(3)$, de donde $f'''(3)=\frac{1}{18}$. Por lo tanto, la función que buscamos es \[f(x)=1+\frac{1}{4}(x-3)+\frac{1}{108}(x-3)^3=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{12}+\frac{x^3}{108}\] y se tiene que $a=\frac{1}{2}$, $b=\frac{-1}{12}$ y $c=\frac{1}{108}$.

Ahora bien, $f'(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{36}(x-3)^2$ nunca se anula, luego se trata de una función estrictamente creciente que corta al eje $OX$ únicamente en el origen, con único punto de inflexión en $x=3$ (es un polinomio cúbico). Dando unos cuantos valores a $x$ se puede esbozar fácilmente la gráfica de la función, que se indica a continuación.

Nota. También se puede trabajar directamente con las potencias de $x$ en lugar de $x-3$, aunque es interesante conocer cómo se desarrolla un polinomio en un punto dado.

Solución. Si llamamos $a,ar,ar^2,\ldots,ar^6$ a los términos de la sucesión, las condiciones del enunciado se traducen en el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} a(1+r+r^2)=7,\\ a(r^4+r^5+r^6)=112. \end{array}\right.\] Dividiendo la segunda ecuación entre la primera, llegamos a que $r^4=\frac{112}{7}=16$, de donde deducimos que $r=\pm 2$.

• Si $r=2$, la primera ecuación queda $a(1+2+4)=7$, lo que nos da $a=1$ y obtenemos la progresión geométrica $\{1,2,4,8,16,32,64\}$.
• Si $r=-2$, entonces la primera ecuación nos da $a(1-2+4)=7$, de donde $a=\frac{7}{3}$ y nos queda la progresión geométrica $\{\frac{7}{3},\frac{-14}{3},\frac{28}{3},\frac{-56}{3},\frac{112}{3},\frac{-224}{3},\frac{448}{3}\}$.

Estas son las dos soluciones posibles al problema.

Solución. Sea $Q$ el punto medio de $AB$ y llamemos $x=QM$, de forma que queremos minimizar el valor de la función \[f(x)=2q\sqrt{x^2+4}+(7-x)p\] cuando $x$ varía en el intervalo $[0,7]$ (aquí hemos usado el teorema de Pitágoras para calcular $AM=MB=\sqrt{x^2+4}$). La función es infinitamente derivable y podemos calcular sus primeras dos derivadas fácilmente: \[f'(x)=\frac{2qx}{\sqrt{x^2+4}}-p,\qquad f''(x)=\frac{8q}{(x^2+4)^{3/2}}.\] Observamos que $f''(x)\gt 0$, luego se trata de una función estrictamente convexa y tendrá un único mínimo absoluto en $\mathbb{R}$ independientemente de los valores de $p$ y $q$. Ahora la observación clave es darse cuenta de que la convexidad también nos dice que en dicho mínimo pasa de decreciente a creciente, luego será suficiente estudiar los valores de la derivada en $x=0$ y $x=7$ para discutir el problema. Tenemos que $f'(0)=-p\lt 0$ y $f'(7)=\frac{14q}{\sqrt{53}}-p$, lo que nos permite distinguir dos casos:

• Si $\frac{14q}{\sqrt{53}}-p\leq 0$, es decir, $\frac{p}{q}\geq\frac{14}{\sqrt{53}}$, entonces $f(x)$ es estrictamente decreciente en $[0,7]$ y tendrá su mínimo en $x=7$, esto es, en este caso el cable será de longitud $0$.
• Si $\frac{14q}{\sqrt{53}}-p\gt 0$, es decir, $0\lt\frac{p}{q}\lt\frac{14}{\sqrt{53}}$, entonces $f'(7)\gt 0$ y el mínimo será interior. Podemos resolver $f'(x)=0$ para obtener que este ocurre para $x=\frac{2p}{\sqrt{4q^2-p^2}}$, es decir, cuando el punto $M$ está a esta distancia del techo.