Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos que la función $g(x)=2x-x^2=1-(x-1)^2$ toma el valor $-8$ en $x=-2$ y $x=4$, pero no toma el valor $8$ ya que tiene su máximo en $x=1$, donde vale $1$. Además, en $[-2,1]$ es creciente y en $[1,4]$ es decreciente. Por lo tanto:

• Fuera del intervalo $(-2,4)$ no sabemos la monotonía de $f(g(x))$ ya que desconocemos lo que le pasa a $f$ fuera del intervalo $[-8,8]$.
• Para $x,y\in[-2,1]$ con $x\lt y$, se tiene que $-8\leq g(x)\leq g(y)\leq 1$, luego $f(g(x))\leq f(g(y))$ y hemos probado que $f(g(x))$ es monótona creciente en $[-2,1]$.
• Para $x,y\in[1,4]$ con $x\lt y$, se tiene que $-8\leq g(y)\leq g(x)\leq 1$, luego $f(g(y))\leq f(g(x))$ y tenemos que $f(g(x))$ es monótona decreciente en $[1,4]$.

Por lo tanto, solo podemos asegurar que $f(2x-x^2)$ es monótona creciente en $[-2,1]$.

Solución. Consideremos $f(x)=ax^3+bx^2+c$. La ecuación de la recta tangente en $x=3$ es \[y=f(3)+f'(3)(x-3)=\frac{1}{4}(x+1),\] luego por comparación de coeficientes, tenemos que $f'(3)=\frac{1}{4}$ y $f(3)-3f'(3)=\frac{1}{4}$, de donde deducimos que $f(3)=1$. Finalmente, el punto de inflexión nos da $f''(3)=0$. Ahora podemos usar que el polinomio puede expresarse como suma de potencias de $x-3$ de forma que \begin{align*} f(x)&=f(3)+f'(3)(x-3)+\frac{f''(3)}{2}(x-3)^2+\frac{f'''(3)}{6}(x-3)^3 \\ &=1+\frac{1}{4}(x-3)+\frac{f'''(3)}{6}(x-3)^3 \end{align*} Como quiera que $f(0)=0$, tenemos que $0=\frac{1}{4}-\frac{9}{2}f'''(3)$, de donde $f'''(3)=\frac{1}{18}$. Por lo tanto, la función que buscamos es \[f(x)=1+\frac{1}{4}(x-3)+\frac{1}{108}(x-3)^3=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{12}+\frac{x^3}{108}\] y se tiene que $a=\frac{1}{2}$, $b=\frac{-1}{12}$ y $c=\frac{1}{108}$.

Ahora bien, $f'(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{36}(x-3)^2$ nunca se anula, luego se trata de una función estrictamente creciente que corta al eje $OX$ únicamente en el origen, con único punto de inflexión en $x=3$ (es un polinomio cúbico). Dando unos cuantos valores a $x$ se puede esbozar fácilmente la gráfica de la función, que se indica a continuación.

Nota. También se puede trabajar directamente con las potencias de $x$ en lugar de $x-3$, aunque es interesante conocer cómo se desarrolla un polinomio en un punto dado.