Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Esta es una sucesión recurrente muy sencilla puesto que $a_{r+2}-3a_{r+1}+2a_r=0$ nos da el polinomio característico $p(x)=x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$. Como tiene raíces distintas, podemos escribir el término general de la sucesión como combinación de las potencias de dichas raíces, es decir, se cumple que $a_r=\alpha\cdot 2^r+\beta\cdot 1^r$ para ciertos $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. En $r=0$ tenemos que $\alpha+\beta=a_0$ y en $r=1$ tenemos que $2\alpha+\beta=a_1$, de donde podemos despejar $\alpha$ y $\beta$ para obtener la expresión \[a_r=(a_1-a_0)2^r+(2a_0-a_1)=(a_1-a_0)(2^r-2)+a_1,\qquad\text{para todo }r\geq 0.\] Como $a_0$ y $a_1$ son enteros y $a_1\gt a_0$ por hipótesis, se cumple necesariamente que $a_1-a_0\geq 1$. También tenemos que $a_1\geq 1$ por hipótesis, lo que nos da $a_r\geq 2^r-1$. Ahora sólo hay que observar que $2^{100}-1\gt 2^{100}-2^{99}=2^{99}$, luego se tiene que $a_{100}\gt 2^{99}$.

Nota. De hecho, lo anterior prueba que el menor valor posible de $a_{100}$ bajo las condiciones del enunciado es $2^{100}-1$ y se obtiene únicamente para $a_1=1$ y $a_0=0$.

Solución. Observemos que \begin{align*} 2ax_n&=\left[\left(a+\frac{b}{\sqrt{2}}\right)+\left(a-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)\right]\left[\left(a+\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^n+\left(a-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^n\right]\\ &=\left(a+\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^{n+1}\!\!\!\!+\left(a-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^{n+1}\!\!\!\!+\left(a-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)\left(a+\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^n\!\!+\left(a+\frac{b}{\sqrt{2}}\right)\left(a-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^n\\ &=x_{n+1}+\left(a-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)\left(a+\frac{b}{\sqrt{2}}\right)x_{n-1}\\ &=x_{n+1}+\left(a^2-\frac{b^2}{2}\right)x_{n-1}. \end{align*} En otras palabras, cada elemento de la sucesión se puede escribir como combinación de los dos que lo preceden, es decir, la sucesión se describe recurrentemente como \[x_0=1,\qquad x_1=2a,\qquad x_{n+1}=2ax_n-\left(a^2-\tfrac{b^2}{2}\right)x_{n-1}.\] Si $b$ es par, entonces $a^2-\frac{b^2}{2}$ es entero y, por tanto, todos los términos de la sucesión son enteros. Si $b$ es impar, entonces $a^2-\frac{b^2}{2}$ no es entero y tiene denominador $2$, luego todos los términos de la sucesión serán racionales pero el único factor primo que puede aparecer en el denominador es $2$. Supongamos que $a=2^mq$, siendo $q$ un número impar. Entonces,

• $(a^2-\frac{b^2}{2})x_{n-1}$ quita un factor $2$ de $x_{n-1}$,
• $2ax_n$ tiene $m+1$ factores $2$ más que $x_n$.

Como $x_0=2$ y $x_1=2a=2^{m+1}q$, el exponente de $2$ en $x_{2n}$ es $1-n$ y en $x_{2n+1}$ es $m-n+1$ (¿sabrías probar esto por inducción sobre $n$?). Tenemos así que, para $b$ impar, los términos pares enteros son solamente $x_0$ y $x_2$ y los términos impares enteros son $x_1,x_3,\ldots,x_{2m+3}$.

Nota. La recurrencia $x_{n+1}=2ax_n-(a^2-\frac{b^2}{2})x_{n-1}$ se puede obtener directamente del polinomio característico $p(x)=x^2-2ax+a^2-\frac{b^2}{2}$, que es el polinomio cuadrático con raíces $a\pm\frac{b}{\sqrt{2}}$.

Solución. Consideramos la ecuación \[(\star)\quad \frac{2x-7}{2x^2-2x-5}=k\ \Longleftrightarrow\ 2kx^2-2(k+1)x-5k+7=0.\] El discriminante de esta ecuación de segundo grado es \[\Delta=4(k+1)^2-8k(7-5k)=4(1-12k+11k^2)=44(k-1)(k-\tfrac{1}{11})\] y tiene que ser $\Delta\geq 0$ para que $(\star)$ tenga solución. Deducimos directamente que $(\star)$ tiene solución si y sólo si, $k\geq 1$ o $k\leq \frac{1}{11}$, luego la solución a la cuestión del enunciado es $k=\frac{1}{11}$.

Nota. Esta es una solución sin derivadas, aunque es obvio que el problema se puede resolver fácilmente estudiando máximos y mínimos. Tenemos que \[f(x)=\frac{2x-7}{2x^2-2x-5}\ \Longrightarrow\ f'(x)=\frac{-4(x-1)(x-6)}{(2 x^2-2x-5)^2}\] luego $f'(x)=0$ sólo si $x=1$ o $x=6$. Analizando las asíntotas verticales y horizontales de $f(x)$, se puede ver que no hay valores de $f(x)$ entre el máximo local $f(6)=\frac{1}{11}$ y el mínimo local $f(1)=1$.

Solución. El problema consiste en determinar si el número de participantes es par o impar, sabiendo que los estudiantes deben ser capaces de conocer sus notas a partir de las medias dadas. Llamemos $n$ al número de participantes y $x_1,\ldots,x_n$ a las notas en el orden que están sentados. Consideremos en primer lugar los siguientes casos:

• Si $n=2$, aunque no se considera en el enunciado, tenemos que sólo hay una media $m_1=\frac{x_1+x_2}{2}$ y muchas parejas de números ($x_1$ y $x_2$) producen la misma media, luego no se pueden determinar. Es importante darse cuenta de si los dos estudiantes tuvieran la nota máxima o mínima, entonces la media también sería la nota máxima o mínima y sí podrían determinarse, pero esta opción no es posible según el enunciado.
• En el caso $n=3$, si llamamos $m_1=\frac{x_1+x_2}{2}$, $m_2=\frac{x_2+x_3}{2}$ y $m_3=\frac{x_3+x_1}{2}$ a las tres medias, entonces se puede determinar $x_1=m_1+m_3-m_2$, $x_2=m_1+m_2-m_3$ y $x_3=m_2+m_3-m_1$. Estas fórmulas permiten a los tres participantes obtener su nota a partir de las tres medias.

Supongamos ahora que $n\geq 4$ y consideremos las notas consecutivas $x_1,x_2,x_3,x_4$. Tenemos entonces que \[\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{x_2+x_3}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}=\frac{x_1+x_4}{2},\] luego si eliminamos a los participantes en las posiciones $2$ y $3$, también conocemos las medias de los restantes (ahora las posiciones $1$ y $4$ son contiguas). Por tanto, resolver el problema para $n$ participantes es equivalente a resolverlo para $n-2$. Podemos repetir el proceso restando de dos en dos participantes hasta quedarnos con sólo dos o tres, en cuyo caso aplicamos los casos ya estudiados. Deducimos que si los estudiantes pueden hallar su nota, entonces $n$ es impar.

Nota. Esta es una solución dada por Samuel Gómez Moreno, proponente también del problema original.

Solución. Llamemos $x_i$ a la nota del estudiante $i$-ésimo (en el orden circular dado por la mesa) y $m_i$ a la media de $x_i$ y $x_{i+1}$, siendo $x_{n+1}=x_1$ y $n$ el número total de participantes.

• Si $n$ es impar, entonces usamos que $\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nm_i$. Si llamamos a esta suma $S$, como $n$ es impar, podemos calcular \[x_1=S-(x_2+x_3+\ldots+x_n)=S-2(m_2+m_4+\ldots+m_{2n-1}).\] El resto de notas $x_2,x_3,\ldots,x_n$ pueden obtenerse por un procedimiento similar. Por tanto, $x_1,\ldots,x_n$ están determinados por las medias $m_1,\ldots,m_n$.
• Si $n$ es par, entonces a quienes se sientan en posiciones impares se les puede sumar una cantidad positiva $a$ y a quienes se sientan en las pares restarles $a$. Como este procedimiento no altera ninguna de las medias, deducimos que no pueden determinarse las notas a partir de estas. El número $a$ debe ser positivo y suficientemente pequeño para no pasar de la nota máxima ni de la nota mínima, y este número existe porque ningún participante tiene la nota máxima ni mínima.

Nota. Otra forma de descartar el caso en que $n$ es par es observar que las medias satisfacen $m_1+m_3+\ldots+m_{n-1}=m_2+m_4+\ldots+m_{n}$, luego el sistema lineal formado por las ecuaciones de la forma $x_i+x_{i+1}=2m_i$ tiene al menos un grado de libertad, esto es, $x_1,\ldots,x_n$ no están determinados.

Solución. La idea es darse cuenta de la suma de los términos de la progresión geométrica siguiente (véase la nota): \[\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots=\frac{1}{3}.\] Esto quiere decir que podemos alcanzar un valor tan cercano como queramos a $\frac{1}{3}$ sin más que sumar suficientes términos de la sucesión. Ahora nos damos cuenta también de que \[\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\Bigl(\cdots\Bigr)\right)\right),\] luego podemos desarrollar \begin{align*} 2^{\frac{1}{3}}&=(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\cdot(((2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\cdot (((((((2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\cdots\\ &=\sqrt{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}}\cdots\\ &=\sqrt{\sqrt{2\sqrt{\sqrt{2\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}} \end{align*} Para escribir esto en una calculadora que funciona de la forma usual (estilo CASIO sin línea de comandos), tengamos en cuenta que:

• La tecla $[\times]$ multiplica el resultado en pantalla por el que introduzcamos a continuación.
• La tecla $[\sqrt{}]$ evalúa la operación pendiente y sustituye el resultado en pantalla por su raíz cuadrada.

Por ejemplo, para obtener la aproximación $\sqrt[3]{2}\approx 2^{\textcolor{red}{\frac{1}{4}+}\textcolor{blue}{\frac{1}{16}+}\textcolor{green}{\frac{1}{64}}}$, usamos la siguiente combinación de teclas: \[\textcolor{green}{[2][\sqrt{}][\sqrt{}][\sqrt{}][\sqrt{}]}\textcolor{blue}{[\times][2][\sqrt{}][\sqrt{}]}\textcolor{red}{[\times][2][\sqrt{}][\sqrt{}]}\] donde cada bloque de un color distinto refleja uno de los sumandos. Si quisiéramos aproximar mejor, tendríamos que añadir al inicio [2] seguido de 8,16,32,... veces la tecla $[\sqrt{}]$ y obtendremos así aproximaciones cada vez mejores.

Nota. Una forma elemental (aunque no es matemáticamente rigurosa) para justificar el valor de la suma de los términos de la progresión geométrica es tomar \[S=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots\ \Longrightarrow\ \frac{1}{4}S=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\ldots\] Por tanto, restando ambas igualdades se cancelan todos los términos menos el primero: \[S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\ \Leftrightarrow\ S=\frac{1}{3}.\]