Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si llamamos $a,ar,ar^2,\ldots,ar^6$ a los términos de la sucesión, las condiciones del enunciado se traducen en el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} a(1+r+r^2)=7,\\ a(r^4+r^5+r^6)=112. \end{array}\right.\] Dividiendo la segunda ecuación entre la primera, llegamos a que $r^4=\frac{112}{7}=16$, de donde deducimos que $r=\pm 2$.

• Si $r=2$, la primera ecuación queda $a(1+2+4)=7$, lo que nos da $a=1$ y obtenemos la progresión geométrica $\{1,2,4,8,16,32,64\}$.
• Si $r=-2$, entonces la primera ecuación nos da $a(1-2+4)=7$, de donde $a=\frac{7}{3}$ y nos queda la progresión geométrica $\{\frac{7}{3},\frac{-14}{3},\frac{28}{3},\frac{-56}{3},\frac{112}{3},\frac{-224}{3},\frac{448}{3}\}$.

Estas son las dos soluciones posibles al problema.

Solución. Sea $Q$ el punto medio de $AB$ y llamemos $x=QM$, de forma que queremos minimizar el valor de la función \[f(x)=2q\sqrt{x^2+4}+(7-x)p\] cuando $x$ varía en el intervalo $[0,7]$ (aquí hemos usado el teorema de Pitágoras para calcular $AM=MB=\sqrt{x^2+4}$). La función es infinitamente derivable y podemos calcular sus primeras dos derivadas fácilmente: \[f'(x)=\frac{2qx}{\sqrt{x^2+4}}-p,\qquad f''(x)=\frac{8q}{(x^2+4)^{3/2}}.\] Observamos que $f''(x)\gt 0$, luego se trata de una función estrictamente convexa y tendrá un único mínimo absoluto en $\mathbb{R}$ independientemente de los valores de $p$ y $q$. Ahora la observación clave es darse cuenta de que la convexidad también nos dice que en dicho mínimo pasa de decreciente a creciente, luego será suficiente estudiar los valores de la derivada en $x=0$ y $x=7$ para discutir el problema. Tenemos que $f'(0)=-p\lt 0$ y $f'(7)=\frac{14q}{\sqrt{53}}-p$, lo que nos permite distinguir dos casos:

• Si $\frac{14q}{\sqrt{53}}-p\leq 0$, es decir, $\frac{p}{q}\geq\frac{14}{\sqrt{53}}$, entonces $f(x)$ es estrictamente decreciente en $[0,7]$ y tendrá su mínimo en $x=7$, esto es, en este caso el cable será de longitud $0$.
• Si $\frac{14q}{\sqrt{53}}-p\gt 0$, es decir, $0\lt\frac{p}{q}\lt\frac{14}{\sqrt{53}}$, entonces $f'(7)\gt 0$ y el mínimo será interior. Podemos resolver $f'(x)=0$ para obtener que este ocurre para $x=\frac{2p}{\sqrt{4q^2-p^2}}$, es decir, cuando el punto $M$ está a esta distancia del techo.

Solución. Pongamos que fabrica $x$ unidades del producto más caro, $y$ unidades del intermedio y $z$ unidades del más económico, luego deben cumplirse las siguientes restricciones: \[\left\{\begin{array}{l}70x+65y+50z=6850,\\x+y+z=100\end{array}\right.\] Multiplicando la segunda ecuación por $70$ y restándole al resultado la primera, llegamos tras simplificar a la siguiente condición \[y+4z=30.\] Queremos la solución de esta ecuación en números enteros que minimice $y+z$ (lo que equivale a maximizar $x$). Claramente, debemos tomar $z$ lo mayor posible y completar con $y$. El mayor valor de $z$ que hace que $y+4z$ no pase de $30$ es $z=7$, lo que nos deja con $y=2$ y $x=100-x-y=91$.

Por lo tanto, debemos tomar $91$ unidades del producto que vale 70 pesetas, $2$ unidades del que vale $65$ pesetas y $7$ unidades del que vale $50$ pesetas.

Solución. Tenemos que \[\frac{3x-b}{3x-5b}=\frac{3a-4b}{3a-8b}\ \Longleftrightarrow\ (3x-b)(3a-8b)=(3a-4b)(3x-5b)\ \Longleftrightarrow\ b(x-a+b)=0.\] Por lo tanto, con la hipótesis de que ambas razones son iguales, necesariamente $b=0$ (en cuyo caso sí se tiene claramente que ambas son igual a $1$ y no hay paradoja) o bien $x-a+b=0$ (en cuyo caso la última igualdad no es $1$ ya que el denominador es cero y no puede hacerse el razonamiento).

En otras palabras, si $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$ entonces estas razones coinciden con $\frac{p-r}{q-s}$ con la condición adicional de que $q-s$ no sea cero.