Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sea $Q$ el punto medio de $AB$ y llamemos $x=QM$, de forma que queremos minimizar el valor de la función \[f(x)=2q\sqrt{x^2+4}+(7-x)p\] cuando $x$ varía en el intervalo $[0,7]$ (aquí hemos usado el teorema de Pitágoras para calcular $AM=MB=\sqrt{x^2+4}$). La función es infinitamente derivable y podemos calcular sus primeras dos derivadas fácilmente: \[f'(x)=\frac{2qx}{\sqrt{x^2+4}}-p,\qquad f''(x)=\frac{8q}{(x^2+4)^{3/2}}.\] Observamos que $f''(x)\gt 0$, luego se trata de una función estrictamente convexa y tendrá un único mínimo absoluto en $\mathbb{R}$ independientemente de los valores de $p$ y $q$. Ahora la observación clave es darse cuenta de que la convexidad también nos dice que en dicho mínimo pasa de decreciente a creciente, luego será suficiente estudiar los valores de la derivada en $x=0$ y $x=7$ para discutir el problema. Tenemos que $f'(0)=-p\lt 0$ y $f'(7)=\frac{14q}{\sqrt{53}}-p$, lo que nos permite distinguir dos casos:

• Si $\frac{14q}{\sqrt{53}}-p\leq 0$, es decir, $\frac{p}{q}\geq\frac{14}{\sqrt{53}}$, entonces $f(x)$ es estrictamente decreciente en $[0,7]$ y tendrá su mínimo en $x=7$, esto es, en este caso el cable será de longitud $0$.
• Si $\frac{14q}{\sqrt{53}}-p\gt 0$, es decir, $0\lt\frac{p}{q}\lt\frac{14}{\sqrt{53}}$, entonces $f'(7)\gt 0$ y el mínimo será interior. Podemos resolver $f'(x)=0$ para obtener que este ocurre para $x=\frac{2p}{\sqrt{4q^2-p^2}}$, es decir, cuando el punto $M$ está a esta distancia del techo.

Solución. Pongamos que fabrica $x$ unidades del producto más caro, $y$ unidades del intermedio y $z$ unidades del más económico, luego deben cumplirse las siguientes restricciones: \[\left\{\begin{array}{l}70x+65y+50z=6850,\\x+y+z=100\end{array}\right.\] Multiplicando la segunda ecuación por $70$ y restándole al resultado la primera, llegamos tras simplificar a la siguiente condición \[y+4z=30.\] Queremos la solución de esta ecuación en números enteros que minimice $y+z$ (lo que equivale a maximizar $x$). Claramente, debemos tomar $z$ lo mayor posible y completar con $y$. El mayor valor de $z$ que hace que $y+4z$ no pase de $30$ es $z=7$, lo que nos deja con $y=2$ y $x=100-x-y=91$.

Por lo tanto, debemos tomar $91$ unidades del producto que vale 70 pesetas, $2$ unidades del que vale $65$ pesetas y $7$ unidades del que vale $50$ pesetas.

Solución. Sea $\rho$ el radio de la base menor y $h$ la altura del tronco de cono. Teniendo en cuenta que la altura del cono sin truncar es $mr$ y la del cono pequeño eliminado es $\rho m=rm-h$, se calcula fácilmente el volumen del tronco \[V=\frac{\pi}{3m^2}(m^3r^3-(mr-h)^3).\] Como la masa total es $Vd+\pi\rho^2p$, la función a maximizar es \[f(h)=\frac{\pi}{3m^2}(m^3r^3-(mr-h)^3)+\frac{\pi p}{m^2}(rm-h)^2.\] Esta función es un polinomio de tercer grado en $h$ cuya derivada viene dada por \[f'(h)=\frac{\pi}{m^2}(d(mr-h)^2-2p(mr-h)),\] que se anula cuando $h=mr$ o bien cuando $h=mr-\frac{2p}{d}$. Ahora bien, $f(h)$ es un polinomio de tercer grado con coeficiente líder positivo, luego tendrá un máximo relativo en $h=mr-\frac{2p}{d}$ y un mínimo relativo en $h=mr$. Además, se tiene la restricción $0\lt h\leq mr$ ya que la altura tiene que ser positiva y menor o igual que la del cono sin truncar. Se deduce así que

• Si $\frac{2p}{d}\lt mr$, la masa máxima se alcanza para $h=mr-\frac{2p}{d}$.
• En caso contrario, si $\frac{2p}{d}\geq mr$, la masa máxima se alcanza para $h=0$.

Solución. Tenemos que \[\frac{3x-b}{3x-5b}=\frac{3a-4b}{3a-8b}\ \Longleftrightarrow\ (3x-b)(3a-8b)=(3a-4b)(3x-5b)\ \Longleftrightarrow\ b(x-a+b)=0.\] Por lo tanto, con la hipótesis de que ambas razones son iguales, necesariamente $b=0$ (en cuyo caso sí se tiene claramente que ambas son igual a $1$ y no hay paradoja) o bien $x-a+b=0$ (en cuyo caso la última igualdad no es $1$ ya que el denominador es cero y no puede hacerse el razonamiento).

En otras palabras, si $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$ entonces estas razones coinciden con $\frac{p-r}{q-s}$ con la condición adicional de que $q-s$ no sea cero.

Solución. El disco da $33\frac{1}{3}\times 24.5=\tfrac{100}{3}\times\frac{49}{2}=\tfrac{2450}{3}$ revoluciones en total, lo que nos da un ángulo de giro de $\tfrac{2450}{3}\times 2\pi=\frac{4900}{3}\pi$ radianes. La trayectoria del surco sigue una espiral de Arquímedes, que se parametriza en coordenadas polares como $r(\theta)=a\theta$, donde $a$ es el paso de la espiral.

Pongamos que el ángulo inicial es $\theta_i$ y el ángulo final es $\theta_f=\frac{4900}{3}\pi+\theta_i$, mientras que el radio inicial es $r_i=\frac{23}{4}$ y el radio final es $r_f=\frac{29}{2}$. Por lo tanto, debe cumplirse que \[\frac{23}{4}=a\theta_i,\qquad \frac{29}{2}=a\left(\frac{4900}{3}\pi+\theta_i\right).\] De este sistema de ecuaciones se deduce fácilmente que $\theta_i=\frac{3220}{3}\pi$ y $a=\frac{3}{560\pi}$, lo que nos da $\theta_f=\frac{8120}{3}\pi$. Entonces, la longitud del surco $L$ puede calcularse en coordenadas polares como la siguiente integral: \begin{align*} L&=\int_{\theta_i}^{\theta_f}\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}\,\mathrm{d}\theta=\int_{\frac{3220}{3}\pi}^{\frac{8120}{3}\pi}\sqrt{a^2\theta^2+a^2}\,\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{3}{560\pi}\int_{\frac{3220}{3}\pi}^{\frac{8120}{3}\pi}\sqrt{1+\theta^2}\,\mathrm{d}\theta. \end{align*}

Esta última integral no es sencilla, pero puede resolverse mediante el cambio de variable $\theta=\operatorname{senh} t$, que nos lleva a $\mathrm{d}\theta=\cosh t$. Como $\cosh^2\theta=1+\operatorname{senh}^2\theta$, tenemos \begin{align*} \int\sqrt{1+\theta^2}\,\mathrm{d}\theta&=\int\cosh^2 t\,\mathrm{d}t=\int\frac{1+\cosh(2t)}{2}\,\mathrm{d}t\\ &=\tfrac{1}{2}t+\tfrac{1}{4}\sinh(2t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsenh}\theta+\tfrac{1}{4}\operatorname{senh}(2\operatorname{arcsenh}\theta). \end{align*} Por lo tanto, el resultado final será \[L=\frac{3}{560\pi}\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsenh}(\tfrac{8120}{3}\pi)+\tfrac{1}{4}\operatorname{senh}(2\operatorname{arcsenh}(\tfrac{8120}{3}\pi))-\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsenh}(\tfrac{3220}{3}\pi)-\tfrac{1}{4}\operatorname{senh}(2\operatorname{arcsenh}(\tfrac{3220}{3}\pi))\right).\] Este último número puede hallarse con calculadora y nos da aproximadamente $51954,\!08930$ cm, es decir, aproximadamente $519,\!54$ m de longitud de surco.