Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El problema consiste en determinar si el número de participantes es par o impar, sabiendo que los estudiantes deben ser capaces de conocer sus notas a partir de las medias dadas. Llamemos $n$ al número de participantes y $x_1,\ldots,x_n$ a las notas en el orden que están sentados. Consideremos en primer lugar los siguientes casos:

• Si $n=2$, aunque no se considera en el enunciado, tenemos que sólo hay una media $m_1=\frac{x_1+x_2}{2}$ y muchas parejas de números ($x_1$ y $x_2$) producen la misma media, luego no se pueden determinar. Es importante darse cuenta de si los dos estudiantes tuvieran la nota máxima o mínima, entonces la media también sería la nota máxima o mínima y sí podrían determinarse, pero esta opción no es posible según el enunciado.
• En el caso $n=3$, si llamamos $m_1=\frac{x_1+x_2}{2}$, $m_2=\frac{x_2+x_3}{2}$ y $m_3=\frac{x_3+x_1}{2}$ a las tres medias, entonces se puede determinar $x_1=m_1+m_3-m_2$, $x_2=m_1+m_2-m_3$ y $x_3=m_2+m_3-m_1$. Estas fórmulas permiten a los tres participantes obtener su nota a partir de las tres medias.

Supongamos ahora que $n\geq 4$ y consideremos las notas consecutivas $x_1,x_2,x_3,x_4$. Tenemos entonces que \[\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{x_2+x_3}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}=\frac{x_1+x_4}{2},\] luego si eliminamos a los participantes en las posiciones $2$ y $3$, también conocemos las medias de los restantes (ahora las posiciones $1$ y $4$ son contiguas). Por tanto, resolver el problema para $n$ participantes es equivalente a resolverlo para $n-2$. Podemos repetir el proceso restando de dos en dos participantes hasta quedarnos con sólo dos o tres, en cuyo caso aplicamos los casos ya estudiados. Deducimos que si los estudiantes pueden hallar su nota, entonces $n$ es impar.

Nota. Esta es una solución dada por Samuel Gómez Moreno, proponente también del problema original.

Solución. Llamemos $x_i$ a la nota del estudiante $i$-ésimo (en el orden circular dado por la mesa) y $m_i$ a la media de $x_i$ y $x_{i+1}$, siendo $x_{n+1}=x_1$ y $n$ el número total de participantes.

• Si $n$ es impar, entonces usamos que $\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nm_i$. Si llamamos a esta suma $S$, como $n$ es impar, podemos calcular \[x_1=S-(x_2+x_3+\ldots+x_n)=S-2(m_2+m_4+\ldots+m_{2n-1}).\] El resto de notas $x_2,x_3,\ldots,x_n$ pueden obtenerse por un procedimiento similar. Por tanto, $x_1,\ldots,x_n$ están determinados por las medias $m_1,\ldots,m_n$.
• Si $n$ es par, entonces a quienes se sientan en posiciones impares se les puede sumar una cantidad positiva $a$ y a quienes se sientan en las pares restarles $a$. Como este procedimiento no altera ninguna de las medias, deducimos que no pueden determinarse las notas a partir de estas. El número $a$ debe ser positivo y suficientemente pequeño para no pasar de la nota máxima ni de la nota mínima, y este número existe porque ningún participante tiene la nota máxima ni mínima.

Nota. Otra forma de descartar el caso en que $n$ es par es observar que las medias satisfacen $m_1+m_3+\ldots+m_{n-1}=m_2+m_4+\ldots+m_{n}$, luego el sistema lineal formado por las ecuaciones de la forma $x_i+x_{i+1}=2m_i$ tiene al menos un grado de libertad, esto es, $x_1,\ldots,x_n$ no están determinados.

Solución. La idea es darse cuenta de la suma de los términos de la progresión geométrica siguiente (véase la nota): \[\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots=\frac{1}{3}.\] Esto quiere decir que podemos alcanzar un valor tan cercano como queramos a $\frac{1}{3}$ sin más que sumar suficientes términos de la sucesión. Ahora nos damos cuenta también de que \[\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\Bigl(\cdots\Bigr)\right)\right),\] luego podemos desarrollar \begin{align*} 2^{\frac{1}{3}}&=(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\cdot(((2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\cdot (((((((2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\cdots\\ &=\sqrt{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}}\cdots\\ &=\sqrt{\sqrt{2\sqrt{\sqrt{2\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}} \end{align*} Para escribir esto en una calculadora que funciona de la forma usual (estilo CASIO sin línea de comandos), tengamos en cuenta que:

• La tecla $[\times]$ multiplica el resultado en pantalla por el que introduzcamos a continuación.
• La tecla $[\sqrt{}]$ evalúa la operación pendiente y sustituye el resultado en pantalla por su raíz cuadrada.

Por ejemplo, para obtener la aproximación $\sqrt[3]{2}\approx 2^{\textcolor{red}{\frac{1}{4}+}\textcolor{blue}{\frac{1}{16}+}\textcolor{green}{\frac{1}{64}}}$, usamos la siguiente combinación de teclas: \[\textcolor{green}{[2][\sqrt{}][\sqrt{}][\sqrt{}][\sqrt{}]}\textcolor{blue}{[\times][2][\sqrt{}][\sqrt{}]}\textcolor{red}{[\times][2][\sqrt{}][\sqrt{}]}\] donde cada bloque de un color distinto refleja uno de los sumandos. Si quisiéramos aproximar mejor, tendríamos que añadir al inicio [2] seguido de 8,16,32,... veces la tecla $[\sqrt{}]$ y obtendremos así aproximaciones cada vez mejores.

Nota. Una forma elemental (aunque no es matemáticamente rigurosa) para justificar el valor de la suma de los términos de la progresión geométrica es tomar \[S=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots\ \Longrightarrow\ \frac{1}{4}S=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\ldots\] Por tanto, restando ambas igualdades se cancelan todos los términos menos el primero: \[S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\ \Leftrightarrow\ S=\frac{1}{3}.\]

Solución. Usando reiteradamente que podemos sustituir un producto de algunas de las variables por el inverso del producto de las restantes, podemos transformar la condición del enunciado como sigue: \begin{align*} 0&=a+\tfrac{1}{a}+b+\tfrac{1}{b}+c+\tfrac{1}{c}+d+\tfrac{1}{d}\\ &=a+bcd+b+acd+c+abd+d+abc\\ &=(ab+1)c+(ab+1)d+(cd+1)a+(cd+1)b\\ &=(ab+1)(c+d)+(cd+1)(a+b)\\ &=(ab+1)(c+d)+(\tfrac{1}{ab}+1)(a+b)\\ &=(ab+1)(c+d)+(1+ab)(\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b})\\ &=(ab+1)(c+d+bcd+acd)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(bd+1)c)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(\tfrac{1}{ac}+1)c)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(ac+1)bcd)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(ac+1)\tfrac{1}{a})\\ &=(ab+1)(ac+1)(1+bc)d\\ &=(ab+1)(ac+1)(ad+1)\tfrac{1}{a}, \end{align*} de donde se deduce que $(ab+1)(ac+1)(ad+1)=0$ y, por tanto, alguno de los números $ab,ac,ad$ debe ser igual a $-1$.

Nota. En la solución oficial se razona en la dirección opuesta desarrollando $(ab+1)(ac+1)(ad+1)$ y usando la condición del enunciado para ver que el resultado es $0$. Sin embargo, suele ser más habitual comenzar manipulando lo que nos dan para ver a dónde llegamos. Existen muchas manipulaciones distintas que dan el resultado.

Solución. Llamamos $x=2^a$ e $y=2^b$ por comodidad. Podemos eliminar $c$ en la segunda ecuación usando la primera para escribir \[7=2^a+2^b+2^{3-a-b}=2^a+2^b+\frac{8}{2^a2^b}=x+y+\frac{8}{xy}.\] Por otro lado, la tercera ecuación nos dice que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$, que también puede escribirse como $x+y=\frac{3}{4}xy$. Por tanto, tenemos que \[7=x+y+\frac{8}{xy}=\frac{3}{4}xy+\frac{8}{xy}\ \Leftrightarrow\ 3(xy)^2-28xy+32=0.\] Esto puede verse como una ecuación de segundo grado con incógnita el producto $xy$, que nos da las soluciones $xy=\frac{4}{3}$ y $xy=8$. Distingamos los dos casos:

• Si $xy=\frac{4}{3}$, entonces $x+y=\frac{3}{4}xy=1$. Conociendo la suma $1$ y el producto $\frac{3}{4}$, ls números $x$ e $y$ deben las soluciones de la ecuación $t^2-t+\frac{3}{4}=0$, pero esta ecuación no tiene soluciones reales.
• Si $xy=8$, entonces $x+y=\frac{3}{4}xy=6$, en cuyo caso $x$ e $y$ son soluciones de la ecuación $t^2-6t+8=0$, que son $t=2$ y $t=4$, lo que nos da $a=1$ y $b=2$ (salvo reordenación) y la condición $a+b+c=3$ nos da $c=0$.

Deducimos así que las soluciones al sistema son $(1,2,0)$ y $(2,1,0)$.

Solución. Si aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ y $(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ obtenemos que cualesquiera que sean los valores de los seis números dados, se tiene que \[(a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_5a_6)^2\leq (a_1^2+\ldots+a_5^2)(a_2^2+\ldots+a_6^2).\] Ahora bien, el enunciado nos dice que se da la igualdad, luego los dos vectores tienen que ser proporcionales. Como son números no nulos, deberá existir una constante $\lambda\neq 0$ tal que \[(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)=\lambda(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5).\] En otras palabras, $a_2=\lambda a_1$, $a_3=\lambda a_2$, $a_4=\lambda a_3$, $a_5=\lambda a_4$ y $a_6=\lambda a_5$. Tenemos así que los números están en progresión geométrica de razón $\lambda$.