Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un tronco de cono de revolución tiene su base mayor de radio $r$ y sus generatrices forman con el plano de la base un ángulo cuya tangente vale $m$. Este tronco de cono está formado por un material de densidad $d$ y su base menor está recubierta por una lámina cuya masa es de $p\,$g/cm$^2$ . ¿Cuál es la altura del tronco para la cual la masa total es máxima?

Es bien sabido que si $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$, entonces ambas razones son iguales a $\frac{p-r}{q-s}$. Escribimos ahora la igualdad \[\frac{3x-b}{3x-5b}=\frac{3a-4b}{3a-8b}.\] Por la propiedad anterior, ambas fracciones deben ser iguales a \[\frac{3x-b-3a+4b}{3x-5b-3a+8b}=\frac{3x-3a+3b}{3x-3a+3b}=1,\] mientras que las propuestas son de ordinario distintas de la unidad. Explicar con claridad a qué se debe este resultado.

Un disco microsurco gira a velocidad de $33\tfrac{1}{3}$ revoluciones por minuto y su duración es de $24$min $30$s. La parte grabada tiene $29$ cm de diámetro exterior y $11.5$cm de diámetro interior. Con estos datos, calcular la longitud del surco grabado.

En un plano vertical se consideran los puntos $A$ y $B$, situados sobre una recta horizontal, y la semicircunferencia de extremos $A$ y $B$ situada en el semiplano inferior. Un segmento de longitud $a=AB$ se mueve de manera que contiene siempre el punto $A$ y que uno de sus extremos recorre la semicircunferencia dada. Determinar el valor del coseno del ángulo que debe formar ese segmento con la recta horizontal, para que su punto medio esté lo más bajo posible.

Representar gráficamente la función \[y=\Bigl|\bigl||x-1|-2\bigr|-3\Bigr|\] en el intervalo $-8\leq x\leq 8$.