Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar las sucesiones infinitas $\{a_1,a_2,\ldots\}$ de enteros positivos que verifican que $a_n\leq n^{3/2}$ para todo $n$ y $m-n$ divide a $a_m-a_n$ para todo $m\gt n$.

Consideremos una sucesión $\{x_n\}$ de números en el intervalo $(0,1)$ tal que $x_{n+1}$ se obtiene reordenando los dígitos de $x_n$ que ocupan las posiciones $n+1,n+2,n+3,n+4,n+5$ tras la coma decimal.

1. Demostrar que dicha sucesión es convergente.
2. Si $x_0$ es racional, ¿puede ser el límite irracional?
3. Encontrar un valor de $x_0$ tal que todo elemento de la sucesión sea irracional sin importar cómo se hagan las reordenaciones.

Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que \[\lfloor a^{3/2}\rfloor+\lfloor b^{3/2}\rfloor=n\] tiene al menos $1980$ soluciones enteras distintas.

Dado un entero $m$, consideremos una sucesión $\{a_n\}$ de enteros positivos tales que $a_{n+1}$ es la suma de $a_n$ con el producto de sus dígitos y $a_1=m$. Determinar si existe $m$ tal que $\{a_n\}$ no esté acotada.

Consideremos $1980$ vectores en el plano tales que la suma de $1979$ cualesquiera de ellos es proporcional al vector restante y no todos los vectores son proporcionales entre sí. Demostrar que la suma de todos los vectores es cero.