Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. ¿Existe una función $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que \[f(n+1) = f(f(n)) + f(f(n+2))\] para cualquier $n\in\mathbb{N}$.

Encontrar el menor entero positivo $n$ para el cual existe un entero $m$ tal que $$\left\lfloor \frac{10^n}{m} \right\rfloor = 1989.$$

Hallar el menor $n$ para el cual existe una solución al sistema \[ \left\{\begin{array}{r}\sin x_1 + \sin x_2 + \dots + \sin x_n = 0,\\ \sin x_1 + 2 \sin x_2 + \dots + n \sin x_n = 100.\end{array}\right. \]

La gráfica de la función $y=f(x)$ permanece invariante si se rota un ángulo recto respecto del origen. Demostrar que $f(x)=x$ tiene una única solución y dar un ejemplo de dicha función.