Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1090
Determinar todos los valores reales de $(x,y,z)$ para los cuales
\[\left\{\begin{array}{l}
x+y+z=1\\
x^2y+y^2z+z^2x=xy^2+yz^2+zx^2,\\
x^3+y^2+z=y^3+z^2+x.
\end{array}\right.\]
pistasolución 1info
Pista. Factoriza la segunda ecuación.
Solución. La idea clave es darse cuenta de que la segunda ecuación se puede escribir equivalentemente como $(x-y)(y-z)(x-z)=0$, lo que nos dice que dos de las incógnitas tienen que ser iguales. Como no hay simetría, tendremos que distinguir tres casos:
- Si $x=y$, entonces la primera ecuación nos dice que $2x+z=1$. Sustituyendo $y=x$ y $z=1-2x$ en la tercera y simplificando, llegamos a la ecuación $3x^2-x=0$, que nos da soluciones $x=0$ y $x=\frac{1}{3}$. Deshaciendo las sustituciones, obtenemos la soluciones al sistema original $(x,y,z)=(0,0,1)$ y $(x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$.
- Si $y=z$, la primera ecuación nos da $x+2y=1$, luego podemos sustituir $z=y$ y $x=1-2y$ en la tercera ecuación y después de simplificar nos queda $y(3y^2-4y+1)=0$, que tiene soluciones $y=0$, $y=1$ e $y=\frac{1}{3}$. En el sistema original, esto se corresponde con las soluciones $(1,0,0)$, $(-1,1,1)$ y $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, aunque esta última ya la hemos obtenido previamente.
- Si $z=x$, procedemos de forma análoga usando la primera ecuación para obtener $y=1-2x$. Sustituyendo en la tercera y simplificando, llegamos a que $x(9x^2-9x+2)=0$, ecuación que tiene por soluciones $x=0$, $x=\frac{1}{3}$ y $x=\frac{2}{3}$. Estas nos dan las soluciones del sistema $(0,1,0)$, $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ y $(\frac{2}{3},\frac{-1}{3},\frac{2}{3})$.
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Problema 1084
Los números reales $a,b,c$ verifican que el polinomio
\[p(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+c\]
tiene exactamente tres raíces reales distintas; estas raíces son iguales a $\tan(y)$, $\tan(2y)$ y $\tan(3y)$ para algún número real $y$. Hallar todos los posibles valores de $y$ verificando $0\leq y\lt\pi$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 1074
Demuestra que para todo $n\geq 2$ podemos encontrar $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$, todos ellos distintos de $1$, de manera que
\[x_1x_2\cdots x_n=\frac{1}{1-x_1}\cdot\frac{1}{1-x_2}\cdots\frac{1}{1-x_n}.\]
Sin pistas
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Problema 1061
OIM, 2018-P1
Para cada número natural $n\geq 2$, hallar las soluciones enteras del siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}{l}
x_1&=(x_2+x_3+x_4+\ldots+x_n)^{2018},\\
x_2&=(x_1+x_3+x_4+\ldots+x_n)^{2018},\\
&\ \,\vdots\\
x_n&=(x_1+x_2+x_3+\ldots+x_{n-1})^{2018}.
\end{array}\right.\]
pistasolución 1info
Pista. Demuestra que todos los números son $0$ o $1$. ¡Los miembros de la derecha crecen mucho si hubiera números grandes!
Solución. Comenzamos observando que ningún número puede ser negativo ya que todos son iguales a potencias de exponente par. Si hubiera algún $x_i$ igual a cero, entonces el resto debe tener suma cero y, como todos son mayores o iguales que cero, deben ser todos cero. Si hubiera algún $x_i$ mayor que $1$, supongamos sin perder generalidad que $x_1\gt 2$ es el mayor de todos los números, luego $x_2=(x_1+x_3+\ldots+x_n)^{2018}\geq x_1^{2018}\gt x_1$, contradiciendo que $x_1$ es el máximo. Todo esto nos dice que podemos suponer que todos los $x_i$ son iguales a $1$; si $n\geq 3$, entonces los miembros de la derecha serían mayores o iguales que $2^{2018}$, caso que hemos descartado. Nos quedan así sólo dos casos posibles, que se comprueba fácilmente que verifican las ecuaciones:
- $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$ para todo $n\geq 2$;
- $x_1=x_2=1$ para $n=2$.
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Problema 1060
Encontrar todas las funciones crecientes $f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{R}$ tales que
\[f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2\]
para todo $m,n\in\mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\ldots\}$.
Sin pistas
Sin soluciones
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